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Dérivées partielles u Définition de la dérivée partielle La dérivée partielle de la fonction f par rapport à x en (x, y) est la dérivée de la fonction d’une seule variable réelle y est constant Elle est notée Of Hx, YL Of òx p g limite n’existe pas, on dit que la fonction f n’est pas partiellement dérivable par rapport à y en (x, y).

La définition s’étend naturellement aux fonctions de trois variables ou plus. Ainsi, la dérivée partielle de la fonction f par rapport à z en (x, y, z) est la dérivée de la fonction d’une seule ariable réelle z # f Ex, y, ZL x et y sont constants Of Hx, y, ZL Oz Hx, y, ZL f HL y, ZL En d’autres termes ô f Hx, y, ZL 2 OF s OV HO. 4; O. 6L ITC r h 2 M HO. 4, O. 6L- —Ttr2 HO. 4, O. 6L 0,42 = o. 6 Tt Oh ü Dérivée et ordre des opérations Par exemple, pour calculer la dérivée de la fonction f HxL x = 3, il faut dabord calculer la fonction dérivée f E HxL = 2x puis ensuite remplacer par la valeur f E H3L = 2 = 6 x2 en Si on inverse l’ordre des opérations, le résultat est toujours nul: remplacer d’abord par la valeur f H3L = 32 = 9 [ce qui donne une constante] uis calculer ensuite la dérivée H9LE = O [la dérivée d’une fonction constante est nulle].

C’est pourquoi, en Mathematica, le calcul qui suit donne un résultat aberrant Clear@fD; ax f@3D Une méthode correcte est la suivante (la substitution est effectuée à la fin) Ox f@xD ê. x 3 6 ü Exemples (calculs avec Mathematica) 3 OF s fonction f Hx. yl- = 1 – x2 -y2 . Au point Hx. yl- = HO. 8, -O. 4L, traçons les deux droites tangentes à la surface, la première dans le pla vertical parallèle au plan Hx, ZL, la deuxième dans le plan vertical parallèle au plan Hy, ZL. La dérivée partielle

Ex f Hx, YL représente la pente de la droite qui est tangente à la surface au point Hx, y, f Hx, yLL dans le plan vertical Hx, ZL. Dans la figure suivante, il s’agit du nombre 19 Dx z f HL YL représente la pente de la droite qui est tangente à la surface au point Hx, y, f Hx, yLL dans le plan vertical Hy, ZL. Dans la figure suivante, il s’agit du nombre Dy z 4 OF S en HU HIOV, 1000 WL. Calculez à la main c) Expliquez et dessinez sur le graphique de HIC V, 1000 QL HU, RL b) HIC V, 1000 QI_ ce que représentent ü Exercice 2-3 Pour v = 21 Calculs avec Mathematica