LES GRECS

Travail de recherche présenté ? M. Brahim Miloudi dans le cadre du cours de to iew nev:ÇEge mathématiques LA GEOMETRIE EUCLI par Laura Ramos École Sophie-Barat org IENNE de l’écriture cunéiforme. Ils se servaient des mathématiques surtout pour le commerce et la construction. En plus, leur système n’allait que de 1 à 60 (numération de position à base 60) puisque le nombre soixante comptait beaucoup de diviseurs et parce qu’il était le plus petit nombre divisible par 1-2-3-4-5 et 6 à la fois.

Comme le zéro n’existait pas encore, les Sumériens utilisaient des espaces vides au milieu d’un nombre pour le eprésenter. Ainsi, on différenciait 102 et 12 mais pas 12 et 120. 2. 2 LES BABYLONIENS De 2000 à 1600 avant J-C, les mathématiques babyloniennes font surface. Leur système mathématique était le même des Sumériens car ils faisaient l’usage de la base 60. Comme pour les habitants de Sumer, les Babyloniens se servaient des mathématiques pour combler à leurs besoins économiques et sociaux et faisaient l’usage des tablettes d’argile gravées en écriture cunéiforme.

Ils furent les premiers à maitriser la résolution d’équations à second degré et connaissaient déjà e théorème de Pythagore. Comme ils n’avaient pas de tables de multiplication ils utilisaient la formule suivante qui leur simplifiait la tâche : Par contre, la division n’existait pas en tant que telle car ils la ramenaient en produit de la façon suivante Les Babyloniens ont aussi donné la valeur de , gravée sur la tablette Plimpton 232, mais ne donnèrent pas l’explication de comment il ravaient trouvée… 2. LES ÉGYPTIENS Pour leur part, 2500 ans a tiens se servaient des se servaient des mathématiques pour troquer vu que l’argent n’existait pas. Ils utilisaient le système de numération décimal et leur numération n’était pas proportionnelle. En effet, ils utilisaient les hiéroglyphes tlrés de la faune et la flore pour écrire des nombres ainsi que des parties du corps comme unités de longueur (la coudée, la paume, le doigt). Les Égyptiens n’utilisaient pas des tablettes d’argile mais plutôt du papier de papyrus.

Ils décomposaient les fractions en un nombre minimal de fractions avec des numérateurs égaux à un et des dénominateurs entiers positifs tous différents les uns des autres. En 1858, un égyptologue, nommé Alexander Henry Rhind, acheta un papyrus datant de 1650 avant notre ère, écrit par Ahmès, un scribe fonctionnalre ayant été lettrée et éduquée dans part de l’écriture et l’arithmétique), qui comportait 87 problèmes d’arithmétique, de géométrie et des tables de décomposition qu’on surnomma ‘ le papyrus de Rhind ».

Sur l’une de ces tables de ce papyrus, table dite « de deux », étaient gravées des fractions dont le numérateur était 2 avec des dénominateurs allant de 3 à 101 . En addition, dans les problèmes 48 et 50 du papyrus de Rhind, Ahmès cherche à tracer un carré de même aire qu’un disque. Cest la fameuse quadrature du cercle. En cherchant à résoudre ce problème, Ahmès obtint une valeur approché du nombre pi (z 3,160) mals ne précise pas pour autant que cela équivaut à la valeur de pi. 3. LA CIVILISATION GRÈCQUE De 700 ans avant J-C à 500 ans après J-C, les mathématiques prirent un autre chemin.

Bien qu’elles étaient avantJ-C à 500 ans après J-C, les mathématiques prirent un autre chemin. Bien qu’elles étaient encore utilisées pour combler ? des besoins pratiques, les Grecs se mirent plutôt à réfléchir sur la nature des nombres, le raisonnement de leur utilisation. Bref, ils firent des mathématiques une science rationnelle, structurée avec des propriétés qu’on démontre. C’est en Grèce qu’apparurent les premiers mathématiciens tels que Pythagore, Thalès et, bien sûr, Euclide, puisqu’il n’y avait que des scribes ou des comptables jusque là. . LA GEOMETRIE EUCLIDIENNE ET « LES ELEMENTS » D’EUCLIDE De la vie du grand mathématicien Euclide on ne connaît pas grande chose. Ce mathématicien de l’Antiquité vécu en Alexandrie et c’est là qu’il écrit son œuvre composée de 13 livres : « Les Éléments  » où il donne naissance à la géométrie euclidienne : la géométrie plane. Son œuvre est la base de la géométrie pendant plus de 2000 ans et, après la Bible, c’est l’ouvrage qui possède e plus d’éditions.

Dans cette œuvre, Euclide définit d’abord ce avec quai il va travailler et propose des postulats ainsi que des axiomes. 4. 1 LES DEFINITIONS « Les Éléments » d’Euclide commence par un série de définitions qui permettent au lecteur de connaître les termes qui seront utilisés puisque, comme il est le premier exemple du système d’axiomatique de l’Antiquité, il se doit de commencer ainsi. Voici les 10 premières définitions du livre 1 : 1. Un point est ce dont il n’y a aucune partie. Comme on peut le constater, la première définition des Éléments est négative.

Euclide explicite que le point e e constater, la première définition des Éléments est négative. Euclide explicite que le point est sans partie, sans grandeur, indivisible. 2. Une ligne est une longueur sans largeur. Les définitions 3 à 6 sont indiquent les relations qui existent entre les objets mathématiques fondamentaux : le point, la ligne, la surface et le solide. 3. Les limites d’une ligne sont des points. 4. Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elle.

Les lignes droites sont les seules qu’Euclide décide de distinguer bien que la définition du cercle fait intervenir une autre sorte de igne : la circonférence 5. Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur. 6. Les limites d’une surface sont des lignes. 7. Une surface plane est celle qui est placée de manière égale par rapport aux droites qui sont sur elle. 8. Un angle plan est l’inclinaison, l’une sur l’autre, dans un plan, de deux lignes qui se touchent l’une l’autre et ne sont pas placées en lige droite. 9. Et quand deux lignes contenant l’angle sont droites, l’angle est appelé rectiligne. 0. Et quand une droite, ayant été élevée sur une droite, fait les angles adjacents égaux entre eux, chacun de ces angles égaux est roit, et la droite qui a été élevée est appelée perpendiculaire ? celle sur laquelle elle a été élevée. 4. 2 LES POSTULATS Dans le livre l, on retrouve les cinq postulats qui fondent les bases de la géométrie. un postulat est un principe que l’on demande d’accepter afin de pouvoir établir une démonstration ou une théorie. Voici ces 5 postulats : postulat 1 : par deux points distincts, il passe une droite et une seule.

Postulat 2 : Tout segment est prolongeable en une droite Postulat 3 : Deux points distincts étant donnés, il passe un cercle et un seul de centre le premier point et passant par le second. Postulat 4 : Tous les angles droits sont égaux entre eux. Postulat 5 : Par un point extérieur à une droite, il passe une droite et une seule parallèle à la droite donnée. Ce dernier postulat, aussi appelé le postulat d’Euclide, est le fondement de la géométrie euclidienne. 4. 3 LES AXIOMES un axiome est une vérité générale, indémontrable, et évidente par elle-même qui sert à démontrer d’autres propositions.

Les 5 postulats du livre des Éléments sont des axiomes. Toutefois, le cinquième postulat n’est un axiome que dans la géométrie euclidienne. Ce postulat, aussi appelé le postulat des parallèles, osa problème aux mathématiciens au point qu’ils cherchèrent même à le déduire des 4 autres axiomes. 5. ES 3 GRANDS PROBLÈMES DES GRECS Les Grecs de l’Antiquité ont été les premiers à vouloir résoudre des problèmes de construction géométrique qu’à l’aide d’une règle non graduée et un compas.

La géométrie grecque ne validait un problème de construction que s’il était réalisé à la règle et au compas. Les 3 problèmes suivants sont devenus célèbres ? cause de leur impossibilité à résoudre. 1 La duplication du cube Ce problème, posé à Athènes en 430 avant J-C, consiste ? onstruire un cube double en volume d’un cube problème, posé à Athènes en 430 avant J-C, consiste ? construire un cube double en volume d’un cube donné ce qui revient à déterminer la racine cubique de 2 ce qui est impossible à effectuer a l’aide d’une règle et un compas.

Cest le mathématicien français Pierre Wantzel qui démontra, en 1837, que la duplication du cube était impossible. 2. a trisection de l’angle Ce problème consiste à partager un angle en trois angles égaux. C’est encore Wantzel qui démontra qu’il était impossible ? résoudre en n’utilisant qu’un compas et une règle. 3. La quadrature du cercle Ce dernier grand problème consiste à construire un carré et un cercle de même pérlmètre ou de même aire avec regle et compas. Le pourquoi de son impossibilité à construire est simple : la transcendance de 6.

LA GÉOMÉTRIE NON-EUCLIDIENNE Après la publication du cinquième postulat d’Euclide, durant des siecles de nombreux mathématiciens essayèrent en vain de le prouver. Ce n’est qu’en 1829, que les mathématiciens Nicolaï Lobatchevski, Gauss et Bolyai montrèrent l’impossibilité de prouver le 5eme postulat d’Euclide en affirmant qu’il existait une infinité de paral èles passant par un point extérieur à une droite onnée ou qu’au contraire, il n’en existait aucune, et inventèrent une géométrie qui dénonçait ce postulat • la géométrie non- euclidienne, de l’espace courbe.

Suite à cette nouvelle géométrie, des mathématiciens créèrent d’autres géométries non- euclidiennes comme la géométrie sphérique, hyperbolique, ou encore, elliptique. Bien que cette géométrie s’applique surtout aux espaces et aux di ou encore, elliptique. Bien que cette géométrie s’applique surtout aux espaces et aux dimensions courbes, elle peut aussi s’appliquer à des espaces non euclidiens à trois dimensions. CONCLUSION En conclusion, j’ai appris que rapport des Grecs et celui qu’Euclide nous fit avec les Éléments est immense puisque c’est la base de la géométrie qu’on connaît aujourd’hui. Par contre, ils ne furent pas les seuls à nous apporter leurs connaissances. En effet, les Sumériens, les Babyloniens et les Égyptiens ont aussi grandement contribué à notre système mathématique et à d’autres systèmes qu’on utilise dans la vie de tous les jours comme les calendriers, la mesure du temps (heures, minutes, secondes) et encore!

Finalement, il est de mon avis que, même si c’est grâce ? outes ces civilisations que les mathématiques ont été créées et développées, c’est plutôt à l’envie d’évoluer de l’être humain et d’exploiter davantage ce qui l’entourait qui lui a permis de développer les mathématiques et non pas du fait qu’il vienne ou qu’il fasse partie d’un territoire plutôt que d’un autre. 8. BIBLIOGRAPHIE EUCLIDE (1990). Les Éléments volume 1 (Texte traduit et commenté par Bernard Vitrac).

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