Manon lescaut
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NOTES DU COURS DE MATHS 3 CHRISTIAN LEONARD 1. Rappels sur les espaces vectoriels Nous rappelons quelques propriétés fondamentales de l’espace vectoriel Rn . Nous revisitons en particulier les notions de base vectorielle et de matrice qui ont été introduites dans le cours de Maths 2. 1. 1 . Vecteurs, bases, parties libres. Censemble Rn est composé des éléments x = (XI, ,xn)- (xi réels. Rn est 1 n sont des nombres emble R des donc le produit carté n , p g nombres réels : Rn On appelle x un vecteur et xi e R est sa ième coordonnée.
On munit n fois l’ensemble Rn des opérations suivantes. pour tous vecteurs xn ) e Rn , , yn ) e R et tout X R, on définit la multiplication externe par , Xxn ) e Rn vecteurs, mais on utilise la même notation que pour raddition des nombres réels que nous retrouvons dans l’addition terme à terme des coordonnées : xl + YI , xn + yn La base canonique de Rn est l’ensemble des vecteurs – n où (1 0 , 1,0, . .,0),… 2 Date: 2004. Nous noterons donc – ei le vecteur constitué de n- 1 zéros et d’un unique 1 placé en èrne coordonnée. I e2 ) entre parenthèses.
Ainsi (— el , e2 ) est différent de (- el La base canonique de Rn se notera de même : ( el , Il va de soi que tout vecteur – . xn – xn en . , xn ) de Rn s’écrit de façon unique sous la forme (1 . 1). Cela signifie si – , xn ) se décompose dans la base canonique sous la forme – x = xl – n alors xl = xl , .. Définition 1 . 2 (Base de Rn On dit que ( n ) forme une base de R si série d’égalités précedente. Les nombres xl et x2 s’expriment de maniere unique en fonction de xl et x2 ; on en déduit que ( e2 ) est bien une base, puisque le vecteur x = (xl , x2 ) est arbitraire. Représentation graphique. Théorème 1. 4 (Résultat admis). Les bases de Rn sont les parties libres de Rn constituées d’exactement n vecteurs. On rappelle la définition suivante. ?? } est une partie libre si pour Définition 1. 5 (Partie libre). On dit que {— tous M , . , Xp réels 4 OF SI . , O) tels que RI — p xp = O . Si par exemple, le coefficient XI n’est pas nul, alors on peut diviser par M et on obtient 2 x2 + . + XP xp Si M = 0, on sait qu’il existe un autre Xi qui n’est pas nul, disons Rio et on obtient de même . o=-Ài i=io Ri xi . Nous avons presque montré la i=ioXi xi — } est liée si et seulement si un de ses vecteurs Proposition 1*6. une partie { liés Vecteurs libres – Dans R3 la partie { x,- z } est liée ssi les vecteurs — Y et- z sont coplanaires. Exemple. Considérons les vecteurs – el = (0, 2) et Montrons que ( el deux vecteurs en , e2 ) est une base de R. Puisque nous avons dimension deux, d’après le Théorème 1. 4, il suffit de montrer que e2 } est une partie libre, et revenir pou 6 OF SI nition 1. des parties R se décompose de manière unique dans la base B . Exprimons maintenant cette décomposition. Nous avons el +2- 5 OF SI c’est-à-dire calculons son inverse p = Q—l . Les étapes de la méthode de la matrice témoin sont les suivantes . avec Q – 1/2 10 necessaire que ce soit la base canonique). On dit que la matrice colonne X — x E Rn dans la base B si – l On notera de même X = x E Rn dans la base 8:- est le vecteur-coordonnées du vecteur le vecteur-coordonnées du vecteur Définition 1-8 (Matrice de passage).
On se place dans Rn . Soient B . , xn sont n réels n sont n vecteurs de R , on note la combinaison linéaire xl v1 vn , On pourra remarquer que cette notation n’est pas choisie au hasard, car elle est cohérente avec celle du produit scalaire de deux vecteurs ainsi qu’avec celle habituelle du produit matriciel en considérant la matrice n x n : V = (V1 , . Vn ) dont les colonnes sont les vecteurs-coordonnées des — Avec cette notation, nous avons 0 OF SI