Chap V Modele Binomial

CHAPITRE 4. MATHEMATIQUES FINANCIERES 26 la date d’ • ech eance. V’ erifier les 2. Soit K = K/(l + r)n le prix d’exercice r’ eactualis’e a equivalences suivantes 2 or 19 Sni* to View f- (sr,2 – 4. 2 Mod ele binomial sur une p eriode Nous allons analyser dans cette premi ere section, l’ evolution d’un march’e financier el ementaire a deux ‘etats, sur une unit’ e de temps n = 1.

L » evolution du prix d’une part d’un titre sans risque Skl ra taux d’int• er *et constant AUk1 = r > O est simplement donn•e binomial sur une p ‘ eriode correspond au tableau des uivant • SO = (SOI S02) (1;s0) (ESO) ((1 + r); si,l ) epreuves Ce march e financier s’exprime donc de fa,con naturelle sur l’espace des al ‘ eas muni de la filtration ‘el’ ementaire : atso ) {Z, Q} c FI o(S0 , SI ) – {Z, n, 1}, {w 2}} 4. 2.

MODELE BINOMIAL SUR UNE PERIODE 127 A l’instant initial k O, nous acqu erons le portefeuille 01 021 ) E R2 , au con VO (O) SOI +021 +021 so A l’instant suivant, les nouveaux prix des actifs SI = (SI 1 , sont annonc es, et notre portefeuille prend la valeur VI (O) -011 SII +021 s12=011 1 + r)+cD21 SI 2 (011, S12) – Cas 3 . SI,I + Dans les deux premiers cas, les strat ‘ egies d’arbitrages sont claires. cas I : Dans cette situation, les prix des actifs risqu es sont toujours sup erieurs aux prix des actifs non risqu es.

Il est clairement plus avantageux de vendre a d ‘ ecouvert ou emprunter le plus de parts possibles d’actifs sans risques, pour acheter des actifs risqu Un portefeuille peu COA uteux consiste initialement a vendre a d’ ecouvert ms O parts d’actifs non risqu ‘ es, pour acheter m parts d’actifs risqu ‘ es. Plus formellement, on am enage notre portefeuille inltlal somme sult QI = (011 , 021 , m) Le co- ut d’acquisition d’un tel portefeuille est nul : VO (O) = 011 + 021 so = (—msO ) x A l’instant suivant k 1, nous vendons les m parts de titres risqu es, et nous remboursons notre pr- et de msO actifs non risqu ‘ es avec les int ‘ er • ets.

L’am enagement du portefeuille correspondant est donn e par 02=01 = (011 , 021 ) = (-mso , rn) La vente de ce portefeuille nous rapporte • V1 1 = rn [SI,I -so(l + r)] zo V1 1 ) = (—msO ) (1 + r) + m sl m [sl,2 PAGF lg cette situation, les prix des actifs non risqu ‘ es sont toujours sup erieurs aux prix des actifs risqu es. Ces conditions peuvent aussi refl eter une conjoncture o u les placements bancaires sont a des taux si ‘ elev’ es, qu’il est Pr’ ef’ erable de placer son argent plut ot que d’acheter des actifs, ici tr es risqu es.

Il est clairement ici plus avantageux de vendre a d • ecouvert le plus de parts d’actifs risqu es, disons m parts, et placer cette somme d’argent msO dans un compte epargne (i. e. en investissant dans msO parts d’actifs non risqu ‘ es). Plus formellement, on am ‘ enage notre portefeuille initial somme suit QI = (011 , 021 , -m) Le ut d’acquisition d’un tel portefeuille est toujours nul : VO(O) +021 so A l’instant suivant k – 1, en revendant les msO parts de tltres non risqu es avec les int er Aets, nous achetons m parts d’actifs risqu ‘ es.

L’am enagement du portefeuille correspondant est donn ‘ e pa 02=01 = (011 , 021 -m) La vente de ce portefeuille nous rapporte : V1 1 +r)-msl,l = m [sO(1 + r) V1 1 ) = (msO) (1 + r) — m sl,2 m [so (1 + r) cas 3 : Le troisi ’eme cas correspond a la situation o • u un investissement sur l’actif risqu’e peut ou non etre plus avantageux, qu’un investissement sur l’ac investissement sur l’actif risqu • e peut ou non tre plus avantageux, qu’un investissement sur l’actif non risqu Dans cette situation, on notera qu’un d efaut d’investissement initial VO (0) +021 SO = o 011 – -021 so conduit a deux situation oppos ees, sans aucune opportunit e d’arbitrage V1 (1 +r)+Q21 SI,I -021 V1 (ONU] 2) = 011 (1 +r)+CD21 si,2 021 En conclusion, nous avons l’ ‘ equivalence suivante Le march’e est viable SI, 1 < so (1 + r) < sl,2 4. 2. 2 Prix d'options Dans un mod ele de march' e viable si,l 129 une banque souhaite proposer a des investisseurs une option de vente, avec pour la date ' • ech ' eance n = 1, la fonction de paiement f (co i) = fieR+ , i = 1, 2.

Ce mod• ele de march•e peut Aetre repr’ esent e synth etiquement par le tableau suivant : (02 PAGF s OF lg Comme nous l’avons vu pr• ec edemment, C (f) correspond au prlX d’acquisition du portefeuille initial le moins on ‘ereux permettant a la banque de couvrir a  » ech ‘ eance la fonction de paiement propos ee. Dans ce mod’ ele de march’e a une p eriode, la condition d’autofinancement d’un portefeuille de con ut initial x, s’exprime par la condition XI + 021 SO=VO (O) = 010X1 + SO ) Les donn ees initiales SO = (SOI so) ‘ etant constantes, La Pr’ evisibilit’ e de la strat ‘ egie – (Ok , revient tout simplement a dire que l’am enagement du portefeuille 01 (CDI 1 , 021 ) est une v. a. onstante, ind’ ependante du jeu d’area coi, i = 1,2 01 (u 021 (w i)) -(91 A2 ) Avec ces notations, la condition d’autofinancement d’un portefeuille de co- ut initial x, s’exprime sous la forme suivante VO(O) x 1 + v2 Minoration du prix La propri’ et ‘e de couverture dans ce march e binomial s’exprime simplement par les deux formules V1 1 ) = pl (1 + r)+tp2 sl 1>f1 V1 (l 91 (1 + r) tp2 max sl,l SI,2 CHAPITRE 4. MA HEMATIQUES 130 On en d’ eduit que le COA ut minimal d’acquisition du portefeuille initial est tel que VO =tpl so SO [fi-tpl (1+0] so (l + r) fi *WII max Pl + max d’ eduit que [(51,2 f1 -sl,l (l + – SI,I ) (1 + – si,l ) 131 Formule du delta de couverture Afin de s’assurer que cette borne inf’ erieure est atteinte, on remarque que la strat• egie d’Investissement si,2f1 -si,l n (1 + r) (si,2 -si,l ) SI,2 – 51,1 pour honorer la fonction de paiement propos ee.

Le point de vue de [‘acheteur La plus grande dette que racheteur acceptera de d ‘ ebourser, de sorte a pouvoir s’en acquitter au moment o • il exercera (au non) son droit, est donn ee par la formule C (f) = sup {XE [o, : t. q. VO (Q) = x et V1 (O) gf) CHAPITRE 4. MATHÉMATIQUES 132 par des arguments analogues a ceux utilis ‘ es dans l’analyse du point de vue du vendeur, nous avons l » equivalence suivante SI,I si,2 V1 (0) gf V2 min Cette ‘ equivalence conduit ais’ ement a la majoration VO (0) = QI + min sl,l) On remarquera qu’avec une dette d’un montant VO (—0 ) = —cp l’acheteur pourra utiliser la strat egie d’investissement pour obtenir a l’ • ech eance le portefeuille lui permettant de la rembourser V1 (—0 ) = —Ç 4. 2. 3