10 Cours Proba Cond Loi Binomiale

DERNIÈRE IMPRESSION LE 23 juillet 2014 à 16:31 Rappels de probabilité probabilité conditionnelle Loi binomiale Table des matières Rappels 1. 1 Définitions . .2 Opération sur les événements . 1. 2. 1 Evénement con 1. 2. 2 Intersection de 1. 2. 3 Union de deux . 3 Probabilité 1 Loi équiprobable ux or 17 Sv. ige to View 1. 5 Variable aléatoire 1. 6 Propriétés de l’espérance et de la variance 2 PAG » 7 Définition 1 : On appelle événement contraire d’un événement A, l’événement noté A composé des éléments de Q qui ne sont pas dans A.

Exemple : On lance un dé parfait. On appelle A l’événement obtenir un 6″. On a donc l’événement contraire A l’événement « ne pas obtenir 6  » I . 2. 2 Intersection de deux événements Définition 2 : On appelle l’intersection de deux événements A et B, l’événement noté An B composé des éléments de Q qui appartiennent à A et à B. On a alors le schéma suivant : On dit que les événements A et B sont incompatibles si et seulement si : AnB = PAUL M ILAN l.

RAPPELS est donc : « obtenir deux cartes de même valeur ou un roi et une autre carte de valeur différente » 1 probabilité Définition 4 : On appelle loi de probabilité sur un ensemble Q, la onction p à valeur dans [0; 1] définie par les conditions suivantes : 2) Si A et B sont incompatibles alors Pt A u B) = A) + B) On peut alors démontrer les propriétés suivantes Propriété 1 : Soit el , e2 , . de l’univers Q. . , en les n événements élémentaires De la définition précédente, on en déduit : l) pce I ) + ) + • 3) Pour tous événements A et B, on a les relations : TABLE DES MATIÈRES Exemples : 1) On lance un dé truqué.

Après un relevé statistique, on a pu déterminer que les probabilités d’apparition de cha ue face sont telles que d 7 8 2) On calcule d’abord P( B) : P(AU B) = P(A) P(B) pt An B) On obtient alors : B) -0,7-0, 3+0, on calcule ensuite : B) = 1 -P(B) -1-0, 1. 4 Loi équiprobable Définition 5 : On appelle loi de probabilité équirépartie, la loi de probabilité où chaque évenement élémentaire a la même probabilité d’apparition (équiprobabilités).

Si Q se décompose en n événements élémentaires, on a : on a : Exemple : Pour un dé à jouer équilibré, chaque face a une probabilité de d’apparition. rouges » C « tirer deux boules de même couleur » Calculons d’abord le nombre de tirages posslbles. On cherche ici des paires. Faisons la liste 1,2}, {1,3}, , {1, 6} 5 choix, (2, 3} , {2, 4}, , {2, 6} 4 choix, (3, 4} , {3, 5} , {3, 6} 3 choix, (4, 5} , {5, 6} 2 choix et {5, 6} 1 choix Ilya en tout :5+4+3+2+1 1 5 tirages possibles Pour avoir R il ne faut utiliser que les numéros de 1 à 4.

Ilya donc : 3+2+1 = 6 cholx 6 15 Soit B « obtenir deux boules bleues ». On a donc : P(R) = Il n’y a qu’un choix possible, donc P(B) = On a alors . • P(C) – P(Ru B) 7 1515 moyenne des valeurs prises, pondérées par les probabilités de la loi définie sur X. Si, par exemple, X représente le gain pour un jeu, X ) représente le gain moyen que peut espérer le joueur. On dit alors que si Et X) > O, le jeu est favorable au joueur le jeu est favorable à l’organisateur. Exemple : Dans un jeu de fléchettes, la cible est constituée de disques de rayons respectifs 5,10 et 20 cm.

Un joueur atteint toujours la cible et on admet que la probabilité qu’il atteigne une zone de cette cible est proportionnelle à l’aire de cette zone. Lorsqu’il atteint la zone rouge, il gagne 15 e, lorsqu’il atteint la couronne bleue, il gagne 7 e. En revanche si la fléchette atteint la couronne verte, il perd 5 e. On appelle X la variable aléatoire qui indique le gain du joueur. a) Déterminer la loi de probabilité de X ) Déterminer l’espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur ? ) Calculer la variance et l’écart type de X a) Comme les probabilités des différentes zones sont proportionnelles à leur surface, il faut donc calculer les surfaces de ces différentes zones (en cm2) : PAGF70F17 SV On obtient les probabilités suivantes . 7511 15) 40011 16 400rt 30011 4 x On obtient alors le tableau suivant : PAGF a) Donner la relation entre X et Y. b) Quelle est la probabilité que le vendeur soit en déficit à la fin de la journée ? c) Quelle gain moyen journalier peut-il espérer ? ) On a 200X – 280 80 200 1) = o, 1+0,1 -o, 2 c) On calcule d’abord E( X) X) —0x0, 1+1 On en déduit alors : E(Y) 200 x 2, 95 – 280 310 Le vendeur peut donc espérer gagner 310 e par jour. Remarque : On peut calculer la variance et l’écart type de Y. On a : 1×02 • +0, 2×52 (2, 95)2 = 2, 45 V(Y)- 2002 97 900 On obtient alors . 97 312, 89 76 % des garçons sont externes. On choisit un élève au hasard. On pose : • F : « rélève choisi est une fille » • E : « l’élève choisi est externe » 0,54 = O, 54, PF (E) O, 72, (E) O, 76 0,28 0,76 0,24 On traduit les données à l’aide de probabilités. On a : 0,46 0,72 17