proba statistique
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Éléments de probabilités et de statistiques A- Eléments de statistique descriptive . 2 l- Tableaux statistiques et représentations graphiques…….. – Résumés B – Eléments de probabilités I – La Loi Binomiale Il – La Loi de poisson………. Swipe to page 4 I – Quelques définitio – Probabilités condi 6 or ao Sni* to View Il – Variables aléatoires réelles C- Exemples de lois de probabilités discretes… … 2 9 D – Les lois de probabilités continues I – Généralités sur les variables aléatoires continues 11 20 Il. 2 12 11. 13 11. 4 14 – Loi uniforme – La loi exponentielle… La 101 — – La loi de Pareto La loi normale ou de Laplace- Gauss 11. 6 – La loi log- normale…. 18 E Loi des grands nombres et théorème de la limite centrale — . I – La loi des grands nombres… Il – Le théorème de la limite centrale ou « central- 0 • 16 Il – Le théorème de la limite centrale ou « central- limite 21 A- ELEMENTS DE STATISTIQUE DESCRIPTIVE La plupart du temps les données se présentent sous la forme suivante : on a relevé p variables numériques sur n individus.
On ne s’intéresse ici qu’à une variable X. appelée caractère, dont on possède n valeurs. La synthèse e ces données se falt sous forme de tableaux. de graphiques et de résumés numériques. Cest ce que fon appelle couramment la « statistique descriptive l- Tableaux statistiques et représentations graphiques 1. 1- Variables discrètes Pour chaque valeur xj de la variable, on note n] le nombre d’occurrence (ou effectif) de xj dans l’échantillon, Enj = n, et fj la fréquence correspondante, fj – nj/n.
Le tableau statistique se présente sous la forme xj nj Dans un graphique en bâtons, on porte en ordonnée fj en fonction de xj chaque classe a une surface égales à la fréquence de la classe: 4567810 ll- Résumés numériques Des indicateurs synthétiques permettent de résumer une série de n observations xl , x2 , xn On note F la fréquence cumulée. 1. 1- Caractéristiques de tendance centrale La médiane est la valeur M telle que F(M) = 0,5.
Elle est déterminée par interpolation linéaire dans le cas d’un nombre d’observation paires ou dans le cas d’une répartition par classes. La moyenne arithmétique notée x ni=l Le mode est la valeur la plus fréquente pour une distribution discrète ou la classe correspondant au pic de l’histogramme pour une variable continue (sa étermination est donc malaisée puisque reposant sur le découpage en classes). 1. – Caractéristiques de dispersion L’étendue ou intervalle de variation est égal à xmax- xmln I L’intervalle interquartile est égal à IQ3 -QI où 1 ) = 0,25 et 3) = 0,75 La variance s2 — 0 conditions et qui peut avoir des résu tats différents (exemple : lancer de dé) ou d’une expérience par nature unique (exemple : observation de la durée de vie d’un individu). L’ensemble des résultats d’une expérience aléatoire est appelé l’univers des possibles ; il est généralement noté Q.
Un événement est une affirmation relative au résultat de l’expérience aléatoire. Par exemple, dans le cas du lancer de dé, les propositions « le résultat du lancer de dé est 4 » ou « le résultat du lancer de dé est supérieur à 5 » constituent chacune un événement posslble. Un événement peut être considéré comme une partie de l’ensemble n, c’est-à-dire comme un ensemble lui-même. C’est pourquoi l’on utilise fréquemment les notations ensemblistes.
Deux événements A et B peuvent être incompatibles : An B = a A un événement A correspond un événement contraire noté A . 2- Définition de la notion de probabilité A chaque événement A CQ , on associe un nombre entre O et 1, noté P(A) et appelé probabilité de l’événement A. Il faut, de plus, que : P(A u B) – P(A) + P(B) pour tous événements A et 3 incompatibles. Au delà de cette définition mathématique peu « éclairante on peut proposer trois approches de la notion de probabilité. La notion classique (équiprobabilité des cas) .
Il s’agit de compter tous les cas de figures où révénement se produit et de le rapporter au nombre total de cas envisageables. Probabilité PAGF s 0 nombre ombre de cas favorables nombre total de cas Cette notion est très utile pour comprendre sur des exemples simples ce qu’est une probabilité. La notion expérimentale . Elle repose sur un théorème que nous verrons plus tard (loi des grands nombres) : lorsqu’une expérience peut être répétée une « infinité » de fois, la fréquence d’un événement tend vers sa probabilité.
Autrement dit • limite grand nombre d’observations nombre de fois où l’ événement a lieu nombre total d’observations Dans la plupart des problèmes de la vie courante, la probabilité d’un événement ne peut être éterminé par un dénombrement des cas ; d’où l’importance de la définition expérimentale (et, plus généralement, le développement de la statistique). L’approche expérimentale permet de mieux comprendre la notion de probabilité : attachée à un événement, elle n’a qu’une valeur de « prévision fondée sur l’étude de cas similaires.
PAGF 6 0 30) 40) 50) Théorème des probabilités totales : si les événements Bi sont incompatibles deux à deux et que U Bi Q, on dit qu’ils forment un « système complet d’événements » et, quel que soit l’événement A, on a : n Bi) Il Probabilités conditionnelles On peut s’intéresser à la probabilité de réalisation d’un événement A sachant qu’un événement g est réalisé. On définit alors la probabilité de A sachant B, notée P (A/B) comme Il. – Evénements indépendants Deux événements sont dits indé endants si la connaissance de l’un des événements ne c PAGF 7 0 tirée avant le second tirage (et qu’on remélange les boules), alors les deux événements sont indépendants l’un de l’autre. Mathématiquement, cette notion s’exprime ainsi : un événement A est indépendant d’un événement B si la probabilité de A sachant B est égale à la probabilité de A, soit : P (AIR) = P(A) On démontre alors facilement le résultat très important suivant : Si deux événements A et B sont indépendants, alors : 11. – Formules de Bayes Les formules de Bayes seront utiles pour certains problèmes d’actuariat. Elles permettent de passer de P(A/B) à P(B/A). 1 ère formule de Bayes : P(B/A) 2ème formule de Bayes : si les événements Bi sont incompatibles deux à deux et que u Bi = Q, alors • P (Bi/A) = XP(A/Bk). PCB k) Ill – Variables aléatoires réelles On parle de variables aléatoires réelles quand les événements ossibles (les « résultats » de l’expérience aléatoire) peuvent être décrits par des nombres réels.
On s’intéressera alors aux crits sous la forme : X PAGF 8 0 aléatoires discrètes, qui prennent leurs valeurs dans un nombre fini ou dénombrable de réels ; – les variables aléatoires continues, qui prennent leurs valeurs dans un intervalle continu de R. 111. 1- Quelques définitions Fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle X Cette fonction est définie ainsi : La fonction de répartition permet de calculer simplement la probabilité de X dans tout intervalle. En effet . X Soient deux variables aléatoires X et Y, E(X+Y) = EX) + E(Y) Si, de plus, X et Y sont des variables indépendantes, E(XY) = E(X). E(Y) Théorème de l’espérance totale Si on note E(Y/X) la variable aléatoire qui prend pour valeurs E(Y/ y. P (Y -y / x) avec les probabilités on a 7 111. 3- Variance La variance est définie par : On voit dans cette définition que l’on cherche à mesurer « en moyenne » (en espérance), l’écart de la variable aléatoire à E(X). V(X) traduit la dispersion des résultats de X autour de la « moyenne L’écart type (noté o) de X est la racine carrée de la variance V(X)