Loinormales Coursexos

Lois normales et autres lois dérivées – Lois normales a) – Définition et , notée N ( ; On dit qu’une variable aléatoire réelle X suit la loi normale (ou gaussienne) de paramètres si elle admet pour densité la fonction f définie sur IR par f(t) Si org Sni* to View 2 = 1, on dit que X suit la loi normale centrée, réduite.

Remarque Les lois normales interviennent très souvent et en particulier lorsque le phénomène étudié est la résultante de nombreuses composantes aléatoires (commerce : fluctuation des ventes, industrie : diamètres de pièces usinées qui ont la résultante de la qualité des matières premières, du réglage de la machine, de l’usure de l’outil, de la centrée réduite. Ce résultat est important car il déduit l’étude des lois normales de celle de la loi normale centrée, réduite. ) – Théorème 3 Soit X et Y deux variables aléatoires réelles suivant des lois normales. X et Y sont indépendantes si et seulement si la covariance Cov(X, Y) de X et Y est nulle. La condition Cov(X Y) = O est nécessaire mais non suffisante dans le cas de variables aléatoires quelconques. 2 – Vecteurs gaussiens Soit n tX (XI , Xn) un n-uplet de variables aléatoires. X est un vecteur aléatoire normal ou gaussien si pour tout n- uplets de réels (1, 2, n), Xi est une variable aléatoire normale. ormal d’espérance m(X) IRn et de matrice de dispersion D(X). une application linéaire de ‘Rn de matrice M, alors le vecteur aléatoire Soit (X) est normal et a pour espérance (m(X)) IRn et pour matrice de dispersion M D(X) tM. f) – Théorème 7 : Indépendance de lois normales IN*. Pour que n variables aléatoires normales XI , X2, Xn soient indépendantes, il faut et il suffit que our 1 gi < j g n, Cov(Xi , Xj) soit nulle. Donc il faut et suffit que la matrice de dispersion du vecteur aléatoire (XI , X2, , Xn) soit diagonale.

Remarques La condition est toujours nécessaire. un vecteur normal de variables aléatoires, indépendantes, centrées, réduites est caractérisé par un vecteur des espérances nul et une matrice de dispersion égale à une matrice Identité. 3 – Lois du Khi-deux (de Pearson) soit n et XI , X2, Xn n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la loi normale centrée réduite. iberté des n variables aléatoires. 4 – Lois de Student IN*.

Soit les variables aléatoires X de loi normale centrée réduite et Y de loi du Khi-deuxà n degrés de liberté. Si X et Y sont indépendantes, T x suit la loi de Student à n degrés de liberté. Statistique inférentielle en BTSA – B. Chaput normales et autres lois dérivees b) – Propriétés – ENFA – Lois L’espérance de T est O et sa variance est n – 2 lorsque n > 2. c)- héorème 9 IN*et XI, X2, Xn n variables aléatoires indépendantes suivant la même loi, normale N aléatoires gaussiennes ZI, Z2, …

Zn obtenues par zn YI Yn où p _ avec M matrice telle que P soit orthogonale (ses lignes (et ses colonnes) sont orthogonales et de norme 1), alors P est une matrice de changement de bases orthonormales (elle conserve la norme euclidienne) et P -1 = ln, la matrice identité d’ordre n. La première ligne de p permet de dire que ZI = ln posons X = n Xk et S = n x- (X- X) , variance corrigée d’échantillon. suit la loi de Student à n 1 degrés de liberté Démonstration D’après la démonstration du théorème 9, Comme les Zk sont indépendantes, = n Y=ZI et