Trace Ss Pentagone

Construire un pentagone régulier Méthodes de construction du pentagone à la règle et au compas. Sommaire 1. Construction de Ptolémée 2. Construction du R. P. Durand 3. Méthode des tangentes à un cercle 4. Méthode des cercles tangents 5. Construction à partir d’un losange 6. Construction à partir d’un côté [AB] 7. Construction à partir d’une diagonale [BE] 8. Autre construction à partir d’un côté [AB] 9. Centre de gravité 10. Pentagone et no re or 17 Sni* to View 1 pliage et nœud Constructions à parti 12. Construction à pa 13.

Construction d’architecte Constructions approchées 1. Construction de Durer 2. Pliage d’une feuille A4 3. Constructlon dite « de Thalès’ 4. es étoiles de Compostelle s un demi-cercle Faire des maths .. avec GéoPlan : http://debart. pagesperso-orange. fr Document Word : http://www. debart. fr/doc/pentagone. doc Document PDF : http://vww. debart. fr/pdf/pentagone. pdf Document HTML : http://debart. pagesperso-orangefr/ls diagonale et r le rayon du cercle circonscrit, on a montré dans la page « polygones réguliers » que a = 2 r sin 36 a- -r -1,176r; 1,902 r.

Le rapport diagonale/côté est égal au nombre d’or Méthodes de construction du pentagone Pour tracer un pentagone régulier convexe, à la « règle et au compas on peut se donner : • Le centre O du cercle circonscrit et un sommet A. • une diagonale (côté du pentagone croisé) en choisissant deux sommets non consécutifs. • un coté en choisissant deux sommets consécutifs A et B. 1. Construction dite de Ptolémée (Alexandrie 85-165 après J. -C. Pour construire un pentagone à la « règle et au compas » il suffit de savoir construire un angle au centre dont le cosinus est égal ? Pour un pentagone inscrit dans un cercle de centre O, ayant un sommet A donné on peut effectuer la construction suivante : racer un cercle cl de centre O, passant par A. On choisira comme unité le rayon du cercle. placer [AA’] un diamètre et [OB’] un rayon perpendiculaire à [PA]. K est le milieu du rayon [OA’], le cercle c2 de centre Ket de rayon KB’ coupe le segment [OA] en IJ. La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (cl) aux points g et E qui sont deux sommets du pentagone.

Le cercle de centre B passant par A recoupe (cl) en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone. En effet KB’ = KU’ d’après la propriété de Pythagore da PAG » 7 termine la construction du pentagone. En effet KB’ = KU’ – d’après la propriété de Pythagore dans le triangle OKB’ rectangle en O, donc OLI = et 01 = . L’angle a un cosinus égal à , c’est bien un angle de . La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE. [EB] est un côté du pentagone étoilé EBDAC inscrit dans le même cercle.

Pentagramme mystique Dans la figure de droite, les points A’, C, E’, B’, D’, nommés dans cet ordre sont les sommets d’un polygone régulier étoilé appelé pentagramme. Ce pentagramme de Pythagore était le sceau secret de reconnaissance des pythagoriciens. Remarque 1 : A’U = AK KU = + C] (nombre d’or). Remarque 2 : OAB est un triangle isocèle d’angle au sommet, les deux autres étant égaux. Dans le triangle IAB rectangle en l, IB = AB cos AB et AB. Le rapport du côté pentagone croisé divisé par le côté du pentagone convexe est égal au nombre d’or Ü. 2. Constructlon du R. P.

Durand Variante de la construction de Ptolémée Points libres : le centre O et un sommet A. Placer les points O et A, tracer le cercle cl de centre O passant par A, placer le symétrique A’ de A par rapport à O. Sur un rayon perpendiculaire au diamètre [AA’], placer le point K au milieu de ce rayon. Tracer le cercle Q de centre K passant par A ce cercle coupe la droite (OK) en U et T. AU est égal à la longueur du côté d’un pentagone convexe inscrit d droite (OK) en LI et T. AU est égal à la longueur du côté d’un pentagone convexe inscrit dans le cercle cl, AT est égal à la longueur du côté du pentagone croisé.

Tracer les cercles c3 etc4 de centre A, passant par IJ et T. Le cercle c3 coupe cl en B et E. Le cercle c4 coupe cl en C et D. ABCDE est un pentagone régulier. Construire la longueur comme Ihypoténuse d’un triangle rectangle ayant pour côtés et . Le cercle c3, homothétique au cercle c2 de Ptolémée par ‘homothétie de centre O et de rapport permet de reporter cette longueur PQ en Pl. Construction Tracer un cercle cl de centre O, passant par A. Placer un diamètre et [03′] un rayon perpendiculaire à [AA’].

P est au quart de [OA’] à partir de O : OP = OA et Q est le milieu de [OB’], le cercle c3 de centre P et passant par Q coupe [OA] en I et [OA’] en J. La perpendiculaire en à coupe le cercle cl en Bet E. La perpendiculaire en J à (AA’) coupe le cercle cl en C et D (placés suivant la figure). Démonstration utilisant le produit scalaire (IS) • pour le prouver, il suffit démontrer que AÔB = et AÔC – On choisira comme unité le rayon du cercle. Dans le triangle rectangle OPQ le théorème de Pythagore permet de trouver : I étant la projection orthogonale de B sur (OA), on trouve l’égalité des produits scalaires . 3 projection orthogonale de B sur (OA), on trouve l’égalité des produits scalaires : Ce produit scalaire s’exprime en fonction de l’angle des vecteurs : OB COS(AOB) 1 0 1 COS(AOB), donc cos(AÒB) = ; AOB = De même OJ = op PJ J étant la projection orthogonale de C sur (OA), on a : 00J et en fonction de l’angle des vecteurs : OAÛ OC COS(AOC) = 1 0 1 COS(AOC) = donc cos(AÔC) les formules de duplication cos(2x) = 2cos2x – 1 permettent, en vérifiant que 2- 1= , de déduire que AÔC = Les points D et E étant les symétriques de C et B par rapport ? (OA), on a donc AÒD – et AÔE – , la figure est bien un pentagone régulier.

Démonstration utilisant les nombres complexes (TS) : dans le plan complexe choisira comme origine le centre du pentagone et pour A le point d’affixe 1. Pour le prouver il suffit démontrer que les sommets sont les racines cinquieme de l’unlté : , z2 , , ; solutions de ‘équation z5- 1 — -o. Le polynôme 75 – 1 se factorise sous la forme z5 1 = (z – 74 z3 4 22 4 z + 1) (formule classique de la somme des 5 premiers termes d’une suite géométrique).

La factorisation peut se poursuivre par z5- 1 = (z – 1) (z2 – 20z + 1)(z2 – 2Dz + 1) avec par identification les réels et D vérifiant C] + Dans le triangle rectangle IJQ, P est le milieu de [IJ] donc 01 —OJ — -2 OP = et la relation métrique pour la haute rectangle IJQ, P est le milieu de [IJ] donc 01 – OJ -2 OP et la relation métrique pour la hauteur [OQ] permet d’écrire 01 0 OJ =OQ2 = . Cet 0 sont donc les affixes des points et J. La calculatrice Tl-92 permet de factoriser dans C, avec factorC(zA5— l,z).

En regroupant le deuxième et le troisième facteur d’une part, le quatrième et le cinquième facteur d’autre parton a. et 1) = soit zs -1 donc C] = = Re() ; partie réelle de la solution du deuxième facteur et 0 — = Reo ; partie réelle de la solution du quatrième facteur. Cl et C sont les parties réelles des racines cinquièmes de l’unité, racines imaginaires. Les sommets du pentagone régulier sont bien l’intersection du cercle unité avec les parallèles à (Oy) passant par et J. 4. méthode des cercles tangents Placer deux points O, A et le cercle cl de centre O, de rayon r, passant par A.

A’ est le symétrique de A par rapport à O. I est le milieu d’un rayon perpendiculaire au diamètre [AA’]. c2 est le cercle de centre I et de rayon . La droite (RI) coupe le cercle c2 en P et Q. c3 et c4 sont les cercles de centre A’ tangents à c2. Le cercle c3 est tangent intérieurement au cercle c2 en P et le cercle c4 est tangent extérieurement au cercle c2 en Q. Le cercle c3 coupe cl en Bet E et le cercle c4 coupe cl en C et D. Les points ABCDE sont les sommets du pentagone cherché. TS : Démonstration pa C et D. Les points ABCDE sont les sommets du pentagone cherché.

TS : Démonstration par calcul d’affixes de complexes. En choisissant r = 1 et O comme origine, on va montrer que l’affixe e ia de B a pour argument en calculant cose. Le rayon de c3 est RB tel que = + donc RB = Il + WI, or AB A’P Al + IP = + 1/2 d’où Il + WI (le nombre d’or Q). On a donc Il + w 12 = (1 + cos3)2 + sin23 = + case) = , d’où l’on tire cose = soit a – . Démonstration Dans triangle rectangle AOI on a (puissance du point A’ par rapport à c2) : A’02 = A’12 – 102 A’12 – A’02 = (NI – + ) A’02 = (A’l – +IP) A’Q . XP. A’02 est donc le prodult des rayons des cercles c3 et c4.

Soit M le point d’intersection de la droite (AB) et du cercle ca. Le produit des rayons est donc A’02 = XVI . A’B soit . Ayant déjà l’angle en commun les triangles A’MO et A’OB sont semblables. Le triangle A’OB ayant deux côtés égaux à r est isocèle, le triangle AMO l’est aussi. Soit a la mesure des angles égaux Les angles « au sommet » des triangles isocèles sont donc – 20. D’autre part, le triangle BOM est isocèle (puisque 3M = r). D’où — On a donc PAGF70F17 du cercle cl est le troisième sommet du pentagone, car : Montrons que ce sommet C du pentagone est sur le cercle c4.

L’angle inscrit dans le cercle cl est égal à la moitié de l’angle au centre : Le troisième du triangle A’MC est = . Ce triangle ayant deux ngles égaux est isocèle. AM A’C. C est bien sur le cercle c4. La symétrie par rapport à (AA’) donne les autres sommets E et D. Une construction égyptienne Cette fgure est la représentation de l’œil d’Oudjat vue par les Égyptiens. Les deux arcs de cercle RS forment ce que les mathématiciens appellent une lentille. Les points B et E, intersection du cercle de diamètre [AO’] et d’un des arcs RS, sont deux des sommets du pentagone de côtés [AB] et [AE].

C et D complètent le pentagone régulier. 5. Constructlon à partir d’un losange Placer deux points O et A et le cercle cl de centre O, passant par A, de rayon r. 3 est le symétrique de A par rapport à O. B’ est un des points d’intersection du diamètre perpendiculaire à [03A] avec le cercle K est le milieu du rayon [030]. Le cercle c2 de centre K passant par 8′ coupe [OA] en U et [003) en T. Le cercle CB de centre 03 passant par U coupe le cercle cl en B et E et la droite (03A) en V. Les droites (BV) et (EV) co Cl en cet D. PAGF 8 3 et D. Les points ABCDE sont les sommets du pentagone cherché.

Comme pour la méthode précédente B’IJ = AB, côté du polygone convexe et 8’T = BE côté du pentagone croisé. On a aussi : 03LJ = Or = r ainsi que 038 et 03E rayons du cercle Dans le cercle cl le triangle 03BA inscrit dans un demi-cercle est rectangle en B. cos cos . Les angles aigus du triangle sont donc et L’angle est égal à . Les deux segments égaux [AB] et [AEI sont deux côtés d’un pentagone régulier inscrit dans le cercle cl. Le triangle isocèle 03Bl_J a un angle au sommet égal à , c’est un triangle d’or de côtés 038 = Or et BU = r.

Dans le cercle c3 1’angle inscrit correspond à l’angle au centre = . Cet angle inscrit est donc — Les angles aigus du triangle VBA sont égaux à et . Le troisième angle est . Le point C est aussi un sommet du pentagone. Même démonstration pour D, ce qui permet de conclure que 6. Construction d’un pentagone à partir d’un côté [AB] (voir «un triangle intéressant» – Daniel Reisz – Bulletin APMEP no 430) Comme expliqué dans le chapitre sur le triangle d’or, trouver le point P en traçant le triangle rectangle isocèle BAA’ et le cercle c6 de centre K milieu de [AB] et tracer le triangle d’or BEP.

Enfin, terminer la construction du pentagone comme ci-dessus. 7. Construction d’un pentagone étoilé à partir d’un côté [BE] Comme expliqué dans le c ci-dessus. point p formant une section d’or sur [BEI • tracer le triangle rectangle BEM tel que EM = BE, tracer le cercle cl de centre M passant par E coupant [3M] en Q et le cercle c2 de centre B passant par Q. Le cercle c2 coupe [BE] en P. Les cercles CB, de centre P passant par B, et c4, de centre B passant par E, se coupent en D sommet du triangle d’or BED.

Terminer la construction des pentagones : Le point C est le symétrique de p par rapport à (BD), et le cercle c2 recoupe (DP) en A. Le point C est aussi situé sur le cercle c2. 8. Autre construction d’un pentagone à partir d’un côté [AB] Placer les deux premiers points A et B du polygone, placer le point BI symétrique de B par rapport à A, racer le cercle (Cl) de centre A passant par 3 (diamètre [31 la perpendiculaire en A à (AB) coupe le cercle (Cl) en Al.

Soit (C2) le cercle de diamètre [AAI] : son centre J est le milieu de [AAI]. Tracer la droite OBI), cette droite coupe le cercle (CZ) au point K. Tracer le cercle (C3) de centre BI passant par le point K, les cercles (Cl) et (CB) se coupent en Dl, tracer le segment [BDI]. La médiatrice de [AB] coupe le segment [BDI] en O : O est le centre du cercle (C4) circonscrit au pentagone et on peut vérifier que l’angle AÔB mesure 720 Pour tracer le pentagone ré lier 17