Plans D Exp Riences

Tutoriel LES PLANS D’EXPERIENCES Jacques GOUPY @ Revue MODULAD, 2006 . 74. Numéro 34 LES PLANS D’EXPERI 1. INTRODUCTION Les plans d’expérien essals qul ors2 Sni* to View er au mieux les accompagnent une recherche scientifique ou des études industrielles Ils sont applicables à de nombreuses disciplines et à toutes les industries à partir du moment où l’on recherche le lien qui existe entre une grandeur d’intérêt, y, et des variables, xi. Il faut penser aux plans d’expériences si l’on s’intéresse à une fonction du type : Avec les plans d’expériences on obtient le maximum de renseignements avec le minimum d’experiences.

Pour cela, il faut suivre des règles mathématiques et adopter une démarche rigoureuse [2]. Il existe de nombreux plusieurs facteurs. Le premier facteur peut être représenté par un axe gradué et orienté (Figure 1). La valeur donnee à un facteur pour réaliser un essai est appelée niveau. Lorsqu’on étudie l’influence d’un facteur, en général, on limite ses variations entre deux bornes. La borne inférieure est le niveau bas. La borne supérieure est le niveau haut. Domaine du facteur Facteur 1 niveau haut niveau bas Figure 1 : Le niveau bas du facteur est noté par – 1 et le niveau haut par +1.

Le omaine de varlation du facteur est constitué de toutes les valeurs comprises entre le niveau bas et le niveau haut. L’ensemble de toutes les valeurs que peut prendre le facteur entre le niveau bas et le niveau haut, s’appelle le domaine de variation du facteur ou plus simplement le domaine du facteur. On a l’habitude de noter le niveau bas par -1 et le niveau haut par +1. -75 – OF l’espace expérimental. Le niveau xl du facteur 1 et le niveau x2 du facteur 2 peuvent être considérés comme les coordonnées d’un pont de l’espace expérimental (Figure 3).

Une expérience donnée est alors représentée par un point dans ce système ‘axes. Un plan d’expériences est représenté par un ensemble de points expérimentaux. Facteur 2 Point expérimental Figure 3 : Dans l’espace expérimental, les niveaux des facteurs définissent des points expérimentaux. Le regroupement des domaines des facteurs définit le «domaine d’étude». Ce domaine d’étude est la zone de l’espace expérimental choisie par l’expérimentateur pour faire ses essais. Une étude, c’est-à-dire plusieurs expériences bien définies, est représentée par des points répartis dans le domaine d’étude (Figure 4).

Cette façon de représenter une expérimentation par des points ans un espace cartésien est une représentation géométrique de l’étude. Une autre représentation d’une étude sera introduite au paragraphe 2. 1 . Revue MODULAD, 2006 propriétés que l’espace des variables continues. II y a également les grandeurs ordonnables comme, par exemple, des distances qui peuvent être courtes, moyennes et longues. Là aussi, la notion d’espace expérimental existe toujours mais cet espace possède des propriétés différentes des deux premiers. . 2 Notion de surface de réponse Les niveaux xi représentent les coordonnées d’un point expérimental et y est la valeur de la réponse en ce point. On définit un axe orthogonal ? l’espace expérimental et on ‘attribue à la réponse. La représentation géométrique du plan d’expériences et de la réponse nécessite un espace ayant une dimension de plus que l’espace expérimental. IJn plan à deux facteurs utilise un espace à trois dimensions pour être représenté : une dimension pour la réponse, deux dimensions pour les facteurs.

A chaque point du domaine d’étude correspond une réponse. A l’ensemble de tous les points du domaine d’étude correspond un ensemble de réponses qui se localisent sur une surface appelée la surface de réponse (Figure 5). Le nombre et de l’emplacement des points d’expériences est le problème fondamental des plans d’expériences. On cherche à obtenir la mellleure précision possible sur la surface de réponse tout en limitant le nombre d’expériences. mesurées aux points du plan d’expériences permettent de calculer l’équation de la surface de réponses. 1. Notion de modélisation mathématique On choisit a priori une fonction mathématique qui relie la réponse aux facteurs. On prend un développement limité de la série de Taylor-Mac Laurin. Les dérivées sont supposées constantes et le développement prend la forme d’un polynôme de degré lus ou moins élevé : y = ao + E ai xi -FE aij XI x j + L ü aii xi2 + a ij… zxi xj … x z {1} • y est la réponse ou la grandeur d’intérêt. Elle est mesurée au cours de l’expérimentation et elle est obtenue avec une précision donnée. • xi représente le niveau attribué au facteur i par l’expérimentateur pour réaliser un essai.

Cette valeur est parfaitement connue. On suppose même que ce niveau est déterminé sans erreur (hypothèse classique de la régression). • a0, ai, aij, aii sont les coefficients du modèle mathématique adopté a priori. Ils ne sont pas connus et doivent être calculés à partir des ésultats des expériences. L’intérêt de modéliser la réponse par un polynôme est de pouvoir calculer ensuite toutes les réponses du domaine d’étude sans être obligé de faire les expériences. Ce modèle est appelé « modèle postulé » ou « modèle a priori ». 1. Le modèle de l’expérimentateur Deux compléments doive PAGF s OF és au modèle modèle réel qui régit le O Revue MODULAD, 2006 -78- phénomène étudié. Ily a un écart entre ces deux modèles. Cet écart est le manque d’ajustement (lack of fit en anglais). Le second complément est la prise en compte de la nature léatoire de la réponse. En effet, si l’on mesure plusieurs fois une réponse en un même point expérimental, on n’obtient pas exactement le même résultat. Les résultats sont dispersés. Les dispersions ainsi constatées sont appelées erreurs expérimentales.

Ces deux écarts, manque d’ajustement et erreur expérimentale, sont souvent réunis dans un seul écart, notée e. Le modèle utilisé par l’expérimentateur s’écrit alors y = ao 4 ya ixi aijxixj+ a ii x i2 + a ij… zxixj. 1. 5 Système d’équations .. xz+e Chaque point expérimental permet d’obtenir une valeur de la réponse. Cette réponse st modélisée par un polynôme dont les coefficients sont les inconnues qu’il faut déterminer. A la fin du plan d’expériences, on a un système de n équations (Sil y an essais) à p inconnues (s’il ya p coefficients dans le modèle choisi a priori).

Ce système s’écrit d’une man- notation matricielle : PAGF OF d’inconnues. Ily a n équations et p + n inconnues. Pour le résoudre, on utilise une méthode de régression basée sur le critère des moindres carrés. On obtient ainsi les estimations des coefficients que l’on note Le résultat de ce calcul est : Formule dans laquelle la matrice X ‘ est la matrice transposée de X De nombreux ogiciels exécutent ce calcul et donnent directement les valeurs des coefficients. Deux matrices interviennent constamment dans la théorie des plans d’expériences : • La matrice d’information W X . ?? La matrice de dispersion (X X )-1 Nous allons maintenant appliquer les notions et les propriétés que nous venons de décrire aux plans d’expériences les plus classiques. Nous verrons successivement les plans suivants : Plans factoriels complets à deux niveaux. Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux. Autres plans à deux niveaux. Plans à plusieurs niveaux. Plans pour surfaces de réponse. Plans de mélanges. -79 – 7 OF oir annexe 1). Par exemple, la Figure 6 représente un plan factoriel complet ? deux facteurs. Le modèle mathématique postulé est un modèle du premier degré par rapport à chaque facteur : y=ao. l XI {5} • y est la réponse • xi représente le niveau attribué au facteur i. • ao est la valeur de la réponse au centre du domaine d’étude. • al est l’effet (ou effet principal) du facteur 1. • a2 est l’effet (ou effet principal) du facteur 2. • al 2 est l’interactlon entre les facteursl et 2. • e est l’écart. On démontre que les meilleurs emplacements des points d’expériences sont situés aux sommets du domaine d’étude. Poids d’additif c D IO gr. +1 5 gr. 8 OF seconde et la troisième indiquent les coordonnées des points d’expériences.

L’essai na 1 est celui pour lequel les deux facteurs étudiés sont aux niveaux bas, ZOOC (ou – 1 en unités codées) et 5 grammes (ou – 1 en en unités codées). Cet essai no 1 correspond au point A de la Figure 6. L’essai n02 est celui pour lequel le premier facteur est fixé au niveau haut, 80 oc (ou +1 en unités codées) et le second facteur est fixé au niveau bas : 5 grammes (ou – 1 en unités codées). Cet essai no 2 correspond au point B. Ce tableau s’appelle Tableau d’expérimentation s’il est construit vec les unités physiques habituelles (Tableau 1) et Plan d’expériences s’il emploie les unités codées (Tableau 2).

Dans ce dernier cas, on rappelle la signification des unités codées en indiquant, pour chaque facteur, leurs valeurs en unités physiques habituelles en bas du tableau. Tableau 1 : Tableau d’expérimentation (unités courantes). N e essai Température (1) 20 oc 80 cc 20 ec poids (2) PAGF g OF représentations par tableaux sont équivalentes. Les tableaux (ou matrices) présentent l’avantage de pouvoir être utillsés quel que soit le nombre de facteurs, c’est-à-dire quel que oit le nombre de dimensions de l’espace expérimental.

Il est utile de savoir passer d’une représentation à l’autre pour bien interpréter les résultats des plans d’expériences. 2. 1. 2 Présentation des résultats d’essais A chaque essai, l’expérimentateur mesure la réponse qu’il a choisie. Par exemple, la réponse de l’essai no 1 est YI. Celle de l’essai no 2 est y2, et ainsi de suite. Ces réponses sont indiquées en face chaque essai et sont rassemblées dans la colonne «Réponse» (Tableau 3). -81 Tableau 3 : Plan d’expériences et résultats expérimentaux. Na essai 2 4 41