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GROUPES ET ESPACES VECTORIELS GROUPES un groupe est un ensemble G auquel est associé une opération * (la loi de composition) vérifiant les quatre propriétés suivantes : . pour tout x, y G, x C G est une loi de composition interne) 2. pour tout x, y, z G, (x *y)* z = x*(y * z) (la loi est associative) 3. il existe eD G tel que  » x = x (e est l’élément neutre) 4. pour tout x CG ile l’inverse de x et est n Si de plus l’opération pour tous x, y G, x* c org = x’ = e (x’ est on dit que G est un groupe commutatit (ou a élien). Remarque L’élément neutre e est unique.

En effet si e’ vérifie aussi le point (3), alors on a e’* e = e (car e est élément neutre) et e’ *e = e’ (car e’ aussi). Donc e e’. Remarquez aussi que l’inverse de l’élément neutre est lui-même. Sil y a plusieurs groupes, on pourra noter pour l’élément neutre du groupe G. un élément x G ne possède qu’un seul inverse. En effet si xi et x » vérifient tous les deux le point (4) alors on a x* x » = e donc x’ * (x * x ») x’ * e. Par l’associativité (2) et la propriété de l’élément neutre (3) alors (x’ *x) * x » = x’. Mais x’ *x = e donc e *x » = x’ et al nsl SOUS-GROUPE out x, y Cl H, ana x C H, pour tout xD H, on a 0 H.

Un critère pratique et plus rapide pour prouver que H est un sous-groupe de G est : H contient au moins un élément pour tout x, y C] H, x H. Proposition Les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ, pour n 0 Z. MORPHISMES DE GROUPES Soient et (G,n) deux groupes. une application f : G un morphisme de groupes si pour tout x, x’ C] Gf (x*xi) = f (x) f (x’) Proposition 1 Soit f G un morphisme de groupes alors : pour tout x C] G, Proposition 2 G’ est Soient deux morphismes de groupes f:G G’ et g G ». Alors go f — G » est un morphisme de groupes.

Si f : G G’ est un morphisme bijectif alors : G’ G est aussi un morphisme de groupes. Un morphisme bijectif est un isomorphisme. NOYAU ET IMAGE Soit f :G G un morphisme de groupes. Le noyau de f est addition sur Z/nZ par : proposltion (Z/nZ,+) est un groupe commutatif. Définition Un groupe (G,*) est un groupe cyclique s’il existe un élément a G tel que : pour tout x G, il existe kO Z tel que Autrement dit le groupe G est engendré par un seul élément a. Remarque : un groupe (Z/nZ,+) est engendré par les entiers k < n I tels que pgcd , c'est à dire n et k premiers entre eux.

ESPACE VECTORIEL Dans ce chapitre, K désigne un corps. Dans la plupart des exemples, ce sera le corps des réels R. Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : – d’une loi de composition interne, c’est-à-dire d’une application de Ex E dans E ExE-E (u,v) – d’une loi de composition externe, c’est-à-dire d’une application de K x E dans E : qui vérifient les 8 axiomes pac;F3cçq Rassemblons les définitions déjà vues. – On appelle les éléments de E des vecteurs. Au lieu de K-espace vectoriel, on dit aussi espace vectoriel sur K. – Les éléments de K seront appelés des scalaires. ?lément neutre s’appelle aussi le vecteur nul. Il ne doit pas être confondu avec l’élément O de K. Lorsqu’il ny aura pas de risque de confusion, sera aussi noté O. – Le symétrique -u d’un vecteur u 0 E s’appelle aussi l’opposé. La loi de composition interne sur E (notée usuellement +) est appelée couramment l’addition et u + u’ est appelée somme des vecteurs u et u’. – La loi de composition externe sur E est appelée couramment multiplication par un scalaire. La multiplication du vecteur u par le scalaire I sera souvent notée simplement lu, au lieu de . u.

Sil existe un élément neutre vérifiant l’axiome (3) ci-dessus, alors il est unique. Solt u un élément de E. Sil existe un élément symétrique u’ de E vérifiant l’axiome (4), alors il est unique. Les étudiants connaissant la théorie des groupes reconnaitront, dans les quatre premiers axiomes ci-dessus, les axiomes caractérisant un groupe commutatif. Règles de calcul VECTORIEL Soit E un K-espace vectoriel. Une partie sous-espace vectoriel si : u + v C] F pour tous C] F, – I. u Û F pour tout 12 Ket tout u 0 F. de E est appelée un Un sous-espace vectoriel est un espace vectoriel

Théorème Soient E un K-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. Alors F est lui-même un K-espace vectoriel pour les lois induites par E. Méthodologie Pour répondre à une question du type « L’ensemble F est-il un espace vectoriel ? une façon efficace de procéder est de trouver un espace vectoriel E qui contient F, puis prouver que F est un sous-espace vectoriel de E. Il y a seulement trols propriétés ? vérifier au lieu de huit ! Soit A û M n,p (R). Soit AX = O un système d’équations linéaires homogènes à p variables.

Alors l’ensemble des vecteurs solutions est un sous-espace vectoriel de COMBINAISONS LINEAIRES Soit un entier, soient, n ve pace vectoriel E. Tout vectoriel de Esi et seulement si . lu + mV û F pour tous u,v C] Fet tous K. Autrement dit si et seulement si toute combinaison linéaire de deux éléments de F appartient à F. INTERSECTION DE DEUX SOUS-ESPACES VECTORIELS Soient deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E. L’intersection F Cl G est un sous-espace vectoriel de E. SOMME DE DEUX SOUS-ESPACES VECTORIELS Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel

E. L’ensemble de tous les éléments u + v, où u est un élément de et v un élément de G, est appelé somme des sous-espaces vectoriels et G. Cette somme est notée + G. On a donc : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels du K-espace vectoriel 1. + G est un sous-espace vectoriel de E. 2. F + G est le plus petit sous-espace vectoriel contenant à la fois F et G. SOUS-ESPACES VECTORIELS SUPPLEMENTAIRES Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. F et G sont en somme directe dans E si Soit O un ensemble fini de vecteurs d’un K-espace vectoriel E. Alors :

L’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs est un sous-espace vectoriel de E. – C’est le plus petit sous-espace vectoriel de E (au sens de l’inclusion) contenant les vecteurs . Notation. Ce sous-espace vectoriel est appelé sous-espace engendré par et est noté Vect O. On a donc . u 0 Vect()() Cil existen K tels que u = APPLICATION LINEAIRE Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Une application f de E dans F est une application linéaire si elle satisfait aux deux conditions suivantes 1. f (u + v) = f (u) + f (v), pour tous u,v 0 E . f (u), pour tout u D E et tout I [1 K.

Autrement dit : une application est linéaire si elle « respecte » les deux lois d’un espace vectoriel. Notation. L’ensemble des applications linéaires de E dans est noté L (E,F). Vocabulaire Soient E et F deux K-espaces vectoriels. – une application linéaire de E dans est aussi appelée morphisme ou homomorphisme d’espaces vectoriels. L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L (E,F). – une application linéaire de E dans E est appelée endomorphisme de E. L’ensemble des endomorphismes de E est noté L (E). IMAGE D’UNE APPLICATIO