F Poutre Poly

Table des matières 7 Eléments de théorie des poutres planes 7. 1 Définitions…. ….. ….. ….. 7. 1. 1 Modélisation géométrique 7. 1. 2 Principe de Saint-Venant.. 7. 1. 3 Modélisation des actions mécaniques 7. 2 solution de sant. venant 7. 2. 1 Contraintes 7. 2. 2 Déplacements 7. 2. 3 Discussion 7. 3 Approche par le 7. 3. 1 Rappel : le princ or 20 7. 3. 2 Cinématique de pz Sni* to View nextÇEge 7. 3. 3 Traitement des 7. 3. 4 Caractérisation 7. 3. 5 Lois de comportement . 7. 3. 6 Remarques 7. 4 Poutre sandwich 7. 4. Evaluation des efforts intérieurs . 7. 4. 2 Forme générale 9 OF rayon de courbure. On rappelle les égalités suivantes : OG dt (7. 1) b=tAn ds • une section droite, S de la poutre, dans le plan (n, b), de contour pour que la théorie sot applicable, il est nécessaire que les sections droites soient lentement variables ou constantes en fonction de s, et que la plus grande dimension de la section droite soit petite devant R, et devant la longueur de la poutre. Ces hypothèses permettent d’assimiler localement la poutre à un tronçon de prisme.

On considère dans la suite une théorie en petites déformations et petits déplacements. Les ctions mécaniques, charges et actions de liaison, s’appliquent sur la géométrie simplifiée. Elles sont représentées par des torseurs (un vecteur résultant et un moment résultant), que l’on définit donc sur la ligne moyenne. On construira également une cinématique simplifiée, permettant de reconstruire les déplacements approchés du milieu continu à partir de translations et de rotations d’un point de la ligne moyenne.

Le but de la théorie des poutres est de remplacer la solution tridimensionnelle par une solution globale, dans laquelle on écrira des équations d’équilibre entre les uantités moyennes qui définissent les efforts, une cinématique définissant les déplacements sur la structure simplifiée, et des lois de comportement qui relient pit de trouver une PAGF 3 OF pas de façon précise les efforts extérieurs sur la 61 62 CHAPITRE 7. ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES b F IG . 7. – Représentation géométrique d’une poutre géométrie tridimensionnelle. On ne cherchera à représenter que les moyennes, en termes de résultantes et de moments. La figure 7. 1 montre la forme générale d’une poutre. Dans chaque section droite, on définit le centre de gravité par : GM ds O (7. 2) On définit le moment quadratique par rapport à une droite A de la section droite, en introduisant H, projection de M ES sur A HM112 dS (7. 3) Le traitement de la théorie des poutres s’appuie sur le principe de Saint-Venant.

Celui-ci considère le cas où, ayant résolu un problème de mécanique des milieux continus tridimensionnels, on evalue ? l’aide de la solution obtenue les torseurs des efforts extérieurs dans une section quelconque. Si ceux-ci sont effectivement égaux à ceux qui sont appliqués, le principe de Saint-Venant indique que, même si 63 7. 1. DÉFINITIONS PAGF s OF droite. 7. 1. 3 Modélisation des actions mécaniques La figure 7. 2 définit la manière dont on prend en considération les efforts extérieurs.

Dans la mesure où la géométrie se résume en fait à une ligne et des sections droites, la représentation de la section ellemême n’est présente que de façon indicative. On prend en compte des forces et des moments, selon les trois directions de l’espace, et sous forme répartie ou ponctuelle. On définit donc . • des forces concentrées F selon xl , P2 selonx2 , P3 selon x3 • des forces surfaciques t selon XI , p2 selon x2 , PB selon x3 ?? des moments de flexion M2 autour de x2 , M3 autour de x3 • un couple de torsion autour de xl , C.

On introduit les efforts intérieurs correspondants. Ils sont définis de manière globale sur une section courante. Les notations seront les suivantes : • une résultante N selon XI , T 2 selonx2 , T3 selonx3 ; N est l’effort normal, T 2 et T3 les composantes de l’effort tranchant • un Moment de flexion M2 autour de x2 , M3 autour de XB • un Couple de torsion autour de xl , Ml . On définit ainsi un torseur, qui est obtenu en intégrant les composantes suivantes du tenseur de ontrainte N- exposée en section suivante.

Il faut noter également qu’il est possible de construire une infinité de champs de contraintes qui redonnent le torseur indiqué. Dans la pratique, la théorie des poutres ne précise pas la manière dont sont distribués les efforts (en application du principe de Saint-Venant). 64 CHAPITRE 7. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES 7. 2 7. 2. 1 Solution de Saint Venant Contraintes L’hypothèse de Saint-Venant consiste à chercher la solution d’un tronçon de poutre droite sous la forme d’un état de contrainte contenant uniquement deux isaillements et un terme de contrainte axiale . 11 012 013 on = 0021 0 031 0 (7. 8) Chaque composante dépend pour le moment de la position (XI x2 , x3 ) d’un point courant au sein de la poutre. On cherche roblème à l’aide d’une PAGF 7 OF 013 —9,2 2 012 = – (7. 21) (7. 22) (7. 23) —x3 — b1 x2 x3 Lors du calcul des intégrales sur la section droite, un certain nombre deZtermes Zsont nuls, dans la mesure où les axes x2 et x3 sont des axes principaux. C’est le cas de x3 dS, x2 x3 dS. On voit par ailleurs apparaître les moments quadratiques principaux.

La orme finale de la solution en contrainte 65 7. 2. SOLUTION DE SAINT. PAGF E OF vérifient des équations différentielles du type wi2,1 = El – E12,1 W12,2 El – E22,1 1012,3 = El – 82, (7. 31) et permutation circulaire. Les composantes du déplacement sont obtenues par des équations du type • ul,l = Ell ul,2 E12 +w12 ul,3 E13 + 1013 (7. 32) 66 CHAPITRE 7. ELÉMENTS DE THÉORIE DES pou RES PLANES On trouve : x2 PAGF OF présentent des axes de symétrie. On obtient un résultat analytique dans le cas où la section est circulaire.

En torsion pure, on trouve tout simplement ue tp vaut (R2 — x22 — x32 V2, et on vérifie que la sectlon reste plane ; sous l’effet d’un effort tranchant T2 uniquement, on trouve 012- 13 x32 X32 – X22 R2- 013 1+2V x3 x2 (7. 43) On note que le vecteur contrainte est bien nul sur la surface latérale. D’une façon générale, le déplacement de la ligne moyenne est obtenu pour x2 x3 = O. Les sections droites restent planes sous l’action d’un effort normal ou d’un moment. Dans le cas d’un effort tranchant, on a un gauchissement des sections droites, ainsi, sous l’action de T2, en notant IJ le déplac