Économétrie

Admettons que nous constatons le fait économique suivant : Figure 1 : Revenu disponible et Consommation des ménages au cours du temps 550 500 450 400 350 300 250 2 42 200 150 100 80 160 240 320 480 560 rd On s’aperçoit que les points forment une droite. On peut supposer qu’elle a pour équation Ct = alRDt + ao où Ct et RDt désignent respectivement la consommation et le revenu disponible à l’instant t.

A partir de cette droite (ou dit modèle(l des données recueillies ur la consommation et le revenu disponible des ménages au fil du temps et de la théorie économétrique que nous présenterons ci-après, on peut déterminer la valeur des paramètres al et aO. La connaissance de ces valeurs nous permettra d’une art de mesurer l’influence de la variable explicative (RDt 3 42 modèle de régression multiple. On cherche à estimer les coefficients al et ao de cette droite dans le but de reproduire le phénomène économique observé.

On n’étudiera que restimation des modèles linéaires (les droites) à une ou plusieurs variables. Il existe des modèles non linéaires (à seuil(2) par exemple) dont l’étude ne sera pas abordés ici. Notations : Le modèle à estimer s’écrit : yt alxt + aO+Et avec par exemple t = 1980, 1981 par un nombre : t = , , 2004 (qui peut être remplacé où t est la date à laquelle on observe la valeur de yt et de Xt et Et est une variable aléatoire représentant ferreur de spécification dont les caractéristiques seront précisées au cours de l’énoncé des hypothèses du modèle.

On introduit la variable Et pour marquer le fait que toute modélisation d’un phénomène ne peut pas être parfaite. Une fois que les coefficients sont estimés, le modèle va s’écrire ou encore âlxt + âO yt=âlxt + âO + et où âl et âO désignent les valeurs estimées des paramètres al et aO, et =yt-9t est appelé le résidu du modèle. et est Pestimateur de l’erreur Et que l’on ne connaît pas. Il. / Méthode d’estimation des Moindres Carrés Ordinaires (MCO) Comment estimer al et ao our re roduire au mieux le phénomène économique 4 2 de façon à minimiser la distance au carré entre chaque point observé yt et chaque point yt donné par la droite Slt = âlxt + âO. Se reporter à l’ouvrage de Lardic et Mignon (2002), Econométrie des Séries emporelles Macroéconomiques et Financières, Economca. Soit e = yt- 9t l’écart entre ces deux mesures, la méthode ou technique des MCO consiste rechercher les valeurs de ao et al de façon à minimiser la quantité suivante : Min et2 = min ï (yt – S’t)2 = min E (yt – âlxt- âO)2 = min S où T désigne le nombre d’observations pour les variables yt et xt. Les conditions nécessaires du 1er ordre pour obtenir un optimum pour S sont : as s 2 utilisant l’expression de l’estimateur xtyt lït 6 2 4 la variance de rerreur est constante (soit homoscédasticité de l’erreur).

H4 : = E(Et. Et’) – = E(Et. Et’) = O car on a E(Et) – o vt*t’ -4 les erreurs sont non corrélées. Ces hypothèses permettent aux estimateurs d’obtenir les bonnes propriétés suivantes : 1/ les estimateurs sont sans biais (3) : E(âl) = al et E(âO) = ao ; 2/ les estimateurs sont convergents (4) : lim Var(âl) = O et Ilm Var(âO) = O . Théorème de Gauss-Markov : Les estimateurs des MCO ont la plus petite variance parmi les estimateurs linéaires sans biais. On dit que ce sont des estimateurs BLUE (Best Linear Unbiased Estimator).

Voir la démonstration à l’aide du modèle de régression multiple qui est plus simple à mener. Var(âl) = OE2 2 l’équation suivante appelée équation d’analyse de la variance : ï et2 soit Var{y) = Var{9) + Var(e). A partir de l’équation d’analyse de la variance, on va construire le critère du RP (ou coefficient de détermination) pour juger de la qualité d’un ajustement. Le R2 est donné par le rapport suivant 42 aa- 0=y-aX1 x. II vient alors . -a XI x t -a 1 Ext -T (Y —a*lx) (Y- = min S où e’ est le transposé du vecteur e .