Cours D’algorithme

2008 ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION POUR NON-MATHEUX COURS COMPLET avec exercices, corrigés et citations philosophiques Christophe Darmangeat université paris 7 http://www. pise. info/algo/index. htm 28/12/2008 L’ALGORITHME Préambule : le Codag 8 or lm Sni* to View Pourquoi les ordinateurs sont-ils binaires ? La base décimale 10 La base binaire 12 Le codage hexadécimal 15 Exercices 58 Corrigés 59 3. 5 Test imbriqués 60 62 63 3. 6 De l’aigu’llage à la gare de tri 65 3. 7Variables booléennes 67 4. Encore de la 68 Logique 4. 1 Faut-il mettre un Et ? un OU ? 10. 3 Types d’accès 185 10. 4 Instructions 87 191 192 10. Stratégies de traitement 194 10. 6 Données structurées 195 10. 6. 1 Données structurées simples 10. 6. 2 Tableaux de données structurées 197 10. 7 Récapitulatif général 198 C’est bien connu, les ordinateurs sont comme le gros rock qui tâche : ils sont binaires. Mais ce qui est moins connu, c’est ce que ce qualificatif de « binaire » recouvre exactement, et ce qu’il implique. Aussi, avant de nous plonger dans les arcanes de l’algorithmique proprement dite, ferons-nous un détour par la notion de codage binaire. Contrairement aux apparences, nous ne sommes pas éloignés de otre sujet principal.

Tout au contraire, ce que nous allons voir à présent constitue un ensemble de notions indispensables à l’écriture de programmes. Car pour parler à une machine, mieux vaut connaitre son vocabulaire. 1. Pourquoi les ordinateurs sont-ils « binaires » ? De nos jours, les ordinateurs sont ces machines merveilleuses capables de traiter du texte, d’afficher des tableaux de maître, de jouer de la musique ou de projeter des vidéos. On n’en est pas encore tout à fait à HAL l’ordinateur de 2001 Odyssée de l’Espace, à « fintelligence » si développée qu’il a peur de mourir… pardon, d’être ébranché.

Mais l’ordinateur paraît être une machine capable de tout faire. Pourtant, les ordinateurs ont beau sembler repousser toujours plus loin les limites de leur champ d’action, il ne faut pas oublier qu’en réalité, ces fiers-à- bras ne sont toujours capables que d’une seule chose : faire des calculs, et uniquement cela. Eh oui, ces gros malins d’ordinateurs sont restés au fond ce qu’ils ont été depuis leur invention : de vuleaires calculatrices am traite du texte, du son, de l’image, de la vidéo, il traite en réalité des nombres. En fait, dire cela, c’est déjà lui faire trop d’honneur.

Car même le simple nombre « 3 » reste hors de portée de l’intelligence d’un ordinateur, ce qui le situe largement en dessous de l’attachant chimpanzé Bonobo, qui sait, entre autres choses, faire des blagues à ses congénères et jouer au Pac-Man. un ordinateur manipule exclusivement des informations binaires, dont on ne peut même pas dire sans être tendancieux qu’il s’agit de nombres. Mals qu’est-ce qu’une information binaire ? C’est une information qui ne peut avoir que deux états : par exemple, ouvert – fermé, libre – occupé, militaire – civil, assis — couché, blanc – noir, vrai – faux, etc.

Si l’on pense à des dispositifs physiques permettant de stocker ce genre d’information, on pourrait citer : chargé – non chargé, haut – bas, troué – non troué. Je ne donne pas ces derniers exemples au hasard : ce sont précisément ceux dont se sert un ordinateur pour stocker l’ensemble des informations qu’il va devoir manipuler. En deux mots, la mémoire vive (la « RAM est formée de millions de composants électroniques qui peuvent retenir ou relâcher une charge électrique.

La surface d’un disque dur, d’une bande ou d’une disquette est recouverte de particules métalliques qui euvent, grâce à un aimant, être orientées dans un sens ou dans l’autre. Et sur un CDROM, on trouve un long sillon étroit irrégulièrement percé de trous. Toutefois, la coutume veut u’on s mbolise une information binaire, quel que soit son veut qu’on symbolise une information binaire, quel que soit son support physique, sous la forme de 1 et de O. Il faut bien comprendre que ce n’est l? qu’une représentation, une image commode, que l’on utilise pour parler de toute information binaire.

Dans la réalité physique, il n’y a pas plus de 1 et de 0 qui se promènent dans les ordinateurs qu’il n’y a écrit, en lettres éantes, « Océan Atlantique » sur la mer quelque part entre la Bretagne et les Antilles. Le 1 et le O dont parlent les informaticiens sont des signes, ni plus, ni moins, pour désigner une information, indépendamment de son support physique. Les informaticiens seraient-ils des gens tordus, possédant un goût immodéré pour l’abstraction, ou pour les jeux intellectuels alambiqués ? Non, pas davantage en tout cas que le reste de leurs contemporains non-informaticiens.

En fait, chacun d’entre nous pratique ce genre d’abstraction tous les jours, sans pour autant trouver cela bizarre ou difficile. Simplement, nous le faisons dans la vie quotidienne sans y penser. Et à force de ne pas y penser, nous ne remarquons même plus quel mécanisme subtil d’abstraction est nécessaire pour pratiquer ce sport. Lorsque nous disons que 4+3=7 (ce qui reste, normalement, dans le domaine de compétence mathématique de tous ceux qui lisent ce cours nous manions de pures abstractions, représentées ar de non moins purs symboles ! un être humain d’il y a quatre » ou « trois sans savoir quatre ou trois « quoi ?

Mine de rien, le fait même de concevoir des nombres, c’est-à-dire de pouvoir considérer, dans un ensemble, la quantité ndépendamment de tout le reste, c’est déjà une abstraction très hardie, qui a mis très longtemps avant de s’imposer à tous comme une évidence. Et le fait de faire des additions sans devoir préciser des additions « de quoi ? est un pas supplémentaire qui a été encore plus difficile à franchir. Le concept de nombre, de quantité pure, a donc constitué un immense progrès (que les ordinateurs n’ont quant à eux, je le répète, toujours pas accompli).

Mais si concevoir les nombres, c’est bien, posséder un système de notation performant de ces nombres, c’est encore mieux. Et là aussi, rhumanité a mis un certain temps (et ssayé un certain nombre de pistes qui se sont révélées être des impasses) avant de parvenlr au système actuel, le plus rationnel. Ceux qui ne sont pas convaincus des progrès réalisés en ce domaine peuvent toujours essayer de résoudre une multiplication comme 587 x 644 en chiffres romains, on leur souhaite bon courage ! 2.

La numérotation de position en base décimale L’humanité actuelle, pour représenter n’importe quel nombre, utilise un système de numérotation de position, à base décimale. Qu’est-ce qui se cache derrière cet obscur jargon ? Commençons par la numérotation de position. Pour représenter un nombre, aussi grand soit-il, nous disposons d’u cialisé : une série de 10 10 signes qui s’appellent les chiffres. Et lorsque nous écrivons un nombre en mettant certains de ces chiffres les uns derrière les autres, l’ordre dans lequel nous mettons les chiffres est capital.

Ainsi, par exemple, 2 569 n’est pas du tout le même nombre que 9 562. Et pourquoi ? Quel opération, quel décodage mental effectuons-nous lorsque nous lisons une suite de chiffres représentant un nombre ? Le problème, c’est que nous sommes tellement habitués à faire ce décodage de façon instinctive que enéralement nous n’en connaissons plus les règles. Mais ce n’est pas très compliqué de les reconstituer… Et c’est là que nous mettons le doigt en plein dans la deuxième caractéristique de notre système de notation numérique : son caractère décimal.

Lorsque j’écris 9562, de quel nombre est-ce que je parle ? Décomposons la lecture chiffre par chiffre, de gauche à droite 9562, 9000 500 + 60 • 2. Allons plus loin, même si cela paraît un peu bébête 9000, c’est 9 x 1000, parce que le 9 est le quatrième chiffre en partant de la droite 500, c’est 5x 100, parce que le 5 est le troisième chiffre en 0, c’est 6 x 10, parce que le 6 est le deuxième chiffre en partant de la droite 2, c’est 2 x 1, parce que le 2 est le premier chiffre en partant de la droite On peut encore écrire ce même nombre d’une manière légèrement différente.

Au Arrivés à ce stade de la compétition, je prie les allergiques de m’excuser, mais il nous faut employer un petit peu de jargon mathématique. Ce n’est pas grand-chose, et on touche au but. Alors, courage ! En fait, ce jargon se résume au fait que les matheux notent la ligne ci-dessus à l’aide du symbole de « puissance Cela donne : g 103 +5 x 102 + 6x 101 + 2x 100 Et voilà, nous y sommes. Nous avons dégagé le mécanisme général de la représentation par numérotation de position en base décimale. Alors, nous en savons assez pour conclure sur les conséquences du choix de la base décimale.

Il y en a deux, qui n’en forment en fin de compte qu’une seule parce que nous sommes en base décimale, nous utilisons un alphabet numérique de dix symboles. Nous nous servons de dix chiffres, pas un de plus, pas un de moins. toujours parce nous sommes en base décimale, la position d’un de ces dix chiffres dans un nombre désigne la puissance de dix par laquelle ce chiffre doit être multiplié pour reconstituer le nombre. Si je trouve un 7 en cinquième position ? partir de la droite, ce 7 ne représente pas 7 mais 7 fois 104, soit 70 000.

Un dernier mot concernant le choix de la base dix. Pourquoi celle-là et pas une autre ? Après tout, la base dix n’était pas le seul choix possible. Les babyloniens, qui furent de brillants mathématiciens, temps adopté la base 60 chiffres. Mais c’était somme toute un inconvénient mineur, et en retour, elle possédait certains avantages non négligeables. 60 étant un nombre divisible par beaucoup d’autres (c’est pour cette raison qu’il avait été choisi), on pouvait, rien qu’en regardant le dernier hiffre, savoir si un nombre était divisible par 2, 3, 4, 5, 6, IO, 12, 15, 20 et 30.

Alors qu’en base 10, nous ne pouvons immédiatement répondre à la même question que pour les diviseurs 2 et 5. La base sexagésimale a certes disparu en tant que système de notation des nombres. Mais Babylone nous a laissé en héritage sa base sexagésimale dans la division du cercle en soixante parties (pour compter le temps en minutes et secondes), et celle en 6 x 60 parties (pour les degrés de la géométrie et de l’astronomie). Alors, pourquoi avons-nous adopté la base décimale, moins pratique à bien des égards ?

Nul doute que cela tienne au dispositif matériel grâce auquel tout être humain normalement constitué stocke spontanément une information numérique : ses doigts ! Profitons-en pour remarquer que le professeur Shadoko avait inventé exactement le même système, la seule différence étant qu’il avait choisi la base 4 (normal, les shadoks n’avaient que 4 mots). Regardez donc cette video – ou comment faire rigoler les gens en ne disant (presque) que des choses vraies : http://wwwyoutube. com/watch? v=X918u4SjRcl&eurl=http:// aigespc57 . cicrp. jussieu. fr/ er embedded J’aioute que c’est l’ensem es shadoks, et en OF