Annexe3
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TD d’économie – Julien Grenet École Normale Supérieure Année 2007-2008 Vade mecum : Equations différentielles du premier ordre Cette annexe aux TD sur le modèle de Solow présente la méthode de résolution des équations linéaires du premier ordre et définit la notion d’état stationnaire. 1. Définitions Equations différentiel or 5 Sni* to View Une équation différentielle du premier ordre est une expression qui décrit une relation entre une fonction à une variable et sa dérivée première : = fMt)) Exemple : y(t) = 2Y(t) Cette équation impose pour être résolue de trouver une fonction (t) dont la dérivée première est égale à deux fois cette fonction. Une solution de cette équation est y(t) = e2t puisque sa dérivée y(t) est 2e2t = 2y(t).
Remarquons, dans ce cas, que pour n’importe quelle constante k, y(t) ke2t est aussi une solution de cette différencier keat et à regarder si Péquation différentielle est satisfaite ; sa dérivée est en effet k fois elle-même. La constante k est déterminée par la valeur initiale y(O) de y(t), d’où y(t) = y(O)eat type 2 : y’ = ay + b où a et b sont des constantes non nulles. La solution générale de cette équation est : b + keat
Pour vérifier ce résultat, remplaçons la solution possible dans l’équation et regardons si cette dernière est vérifiée . akeat ay(t) + b = (-b + akeat ) + b = akeat par conséquent, y(t) = ay(t) + b, donc notre solution possible constitue vraiment une solution. La constante k est déterminée par la valeur initiale y(0) de y(t), d’où • 1. 3 Solution stationnaire Equations différentielles du premier ordre Solt l’équatlon différentielle du premier ordre y(t) = f (y(t)). ne solution constante y(t) = y de cette équation différentielle est appelé solution stationnaire (ou simplement ?quilibre) de cette équation. Puisque y(t) – O pour une solution d’état stationnaire, le point y solution stationnaire si et seulement si : Exemple : y- = 3y- 2 * est une Une solution stationnaire non nulle de cette équation est donné par . 2. 2 Système d’équations différentielles du premier ordre Dans le cas d’un système de deux équations différentielles du premier ordre, un point , y • ) est un état stationnaire du système si et seulement si : du type y’ ay + b, la condition précédente implique que Péquilibre n’est stable que si a < O. Dans ce cas en effet, quelle que soit la valeur nltlale y(O), y(t) va converger vers l'équilibre stationnaire y lorsque t Pour le voir, supposons que y vérifie l'équation différentielle y' = ay + b.
Dans ce cas, on sait que la solution de cette équation s’écrit : Si a lim 3. 2 — quelle que soit la valeur initiale y(O). On considère le système à deux équations suivant : = foc Y) On suppose que f et g sont des fonctions continûment différentiables. Soit (x• , y * ) un état stationnaire de ce système d’équations différentielles du premier ordre. On appelle M (x, y) la matrice des dérivées premières de f et g au point (x, y) : PAGF