analyse mathematique

D’ partement de Math • matiques Facult’ des Sciences Universit- Ibn Tofa K’ nitra Cours d’Analyse Il Fili’ res ann’ e) Notes r’ : SMP /SMC ( u ors. Sni* to View erT11A re dig es par : M. BENELKOURCHI Slimane Professeur a l’Universit’ Ibn Tofa « l. Mars 2011 variables s par • es, homog nes 3. 4 Equations diff- rentielles lin constants 3. 5. Exercices 21 22 24 27 29 aires d’ordre 2 a coefficients 1 .

Cette section peut etre omis en premi’ 2 CHAPITRE 1 Calcul Int’ gral re lecture L’int• gration est un concept fondamental en math matiques, issu du calcul des aires et de l’analyse, et util breuses branches des mal pour une premi’ re formalisation, elles nous avaient d’ j • r’ sultats : les offert de profonds et beaux Ath niens evalu• rent les grandeurs de montr’ rent implicitee ment l’existence et l’unicit• thodes g’ n • rales de ; au XVIIe si • l’espace puis en d cle naissent des rn’ calcul de l’infini (rectification de courbes, quadratures, etc. ) C’est alors que la m thode des indivisibles de Cavalieri voit le jour.

C’est Leibniz qui op’ re le fondement de la th • orie de l’int gration (Geomee tria recondita, 1686), Perp’ tu • jusqu’aujourd’hui, d’une part par n symbolisme in • gal » reliant int’ gration et d’ rivation, d’autre part par la mise en place des principaux th’ or’ mes. Riemann, 1854, publication posthume en 1867) puis Vint » grale de Lebesgue (Henri Lebesgue, 1902) ont marqu les esprits par leur formalisation aboutie. L’int’ gration est encore un sujet pour la recherche contemporaine ; en t’ moigne des extensions telles que l’int grale d’Ito-, Fint’ grale de Kurzweil-Henstock, ou la r • cente construction de Bongiorno (1996).

Le but du calcul int’ gral est de d’ velopper des m’ thodes permettant de cale culer les int• grales. La principale m thode pour calculer une int• grale passe par la notion de primitive d’une fonction. La primitivation est l’op ‘ ration qui, a partir d’une fonction f, donne une fonction F d • d’ riv’ e est egale rivable et dont la r • . Ici, on s’int resse a l’int gration des fonctions continues par morceaux. 1 . 1. D • finition de l’int• grale d’une fonction continue 1 . 1. 1 . Cas d’une fonction positive. D • finition 1. 1.

Soit P un plan muni d’un repu re orthogonal (O, j Soient l, J, K les trois points du plan P d’ finis par : On appelle unit • d’aire ( not’ e en abr• g • u. . ) l’unit » de mesure des telle que : PAGF s OF bornes de l’inti grale. La variable t (ou x ou autre) figurant dans l’int• grale est muette, elle peut etre not’ e par toute autre lettre. Le symbole dt (ou dx) ne joue aucun rale pour le moment, si ce n’est de Pr’ ciser quelle est la variable. Exemples 1. 3. Rapportons le plan P a un rep i, j) avec re orthonorm (0, j Il- – Icm. Ainsi lu. a. correspond a Icm2. 1— f est egale a une constante positive k sur [a, b]. (t)dt = OF b f (x)dx ou f (t)dt ou f (s)ds Autrement dit, lorsque f est n gative sur [a, b], on a : f (x)dx I f (x) Idx. Exercice : Soit f : [a, b] deux fonctions f et f par R une fonction Continue. On d’ finit 7 OF (Compatibilit• avec l’ordre). Si fet g sont continues sur [a, b] avec a b, alors : fg g sur [a, b), f (t)dt Propri• t sur un 1. 8 (ln’ galit » triangulaire). Soit f une fonction continue segment (a, bl avec a b, alors • D’ monstration. On a BOF . g an b. Notons S[a, b] l’ensemble des subdivisions de l’intervalle [a, b]. Pour chaque (al )OSiSn E S[a, b], notons Io (ai – ai-l inf xE[ai-1 (1. 2) ai—l sup f (x)C .

PAGF g OF etre omis en premi . DERIVATION ET INTEGRATION . 4. D’ rivation et Int’ gration 1. 4. 1 . Notions de primitive d’une fonction. D’ finition 1. 15. Soient I un intervalle de R et f : fonction. On appelle primitive de f sur toute fonction F : I — rivable sur et admet f pour fonction d • riv• e. R une R qui est d’ TW or • me 1 . 16. Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle l. Soient F et G deux primitives de f sur l. Alors Fet G diff’ rent d’une constante c. constante ce R telle que F(x) = G(x) + c Primitives usuelles Les r’ sultats de ces table rd. II existe une nt en v’ riflant que l’on a