AL7MA01TEPA0013 Sequence 05

Séquence 5 La fonction logarithme népérien Objectifs de la séquence Introduire une nouvelle fonction : la fonction logarithme népérien. Connaitre les propriétés de cette fonction : sa dérivée, ses variations, sa courbe, sa relation fonctionnelle Apprendre à utiliser la relation f ou pour résoudre des équations. Sommaire . pré_requis or26 Sni* to View rmer une écriture 2. 4. 6. Premières notions sur la fonction logarithme népérien 3. Courbes des fonctions exp et ln Dérivée et tableau de variation de la fonction ln Synthèse de la séquence Exercices de synthèse

Séquence 5 – MAOI dérivée de la fonction f : xe x — 1 est e x donc f est une fonction strictement croissante ; par conséquent, il existe un seul nombre réel x 0 20 tel que g) Pour toutxe]- • ; e—x ex = 1. h) OnaDe2C—e2. i) La dérivée de x 2 est x j) Une équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d’abscisse 2 est y = e2 (x- 1). k) Le tableau de variations de la fonction exponentielle est . exp x) exp(x ) OF est bien strictement croissante sur » donc sur DD O DD aussi. e) Vrai. Toute fonction dérivable est continue.

La fonction exponentielle qui est érivable (par définition) n’échappe pas à cette règle. f) Vrai. On peut même ajouter que xo = 0. g) Vrai. L’égalité e —x e x = 1 est même vraie pour tout réel x. D 30 h) Vrai. En effet, on calcule séparément e 2 C] e 2 – e 2 puis 3+6 x et y e 2 . Toutefois, dans le cas général de nombres réels quelconques, on a : ex *e x + y sauf dans les cas « exceptionnels » où x xy x+y (comme ici, où x —3 et y —3 on vérifie que x + y -9 Objectifs du chapitre Définir la fonction logarithme népérien. Etudier ses propriétés algébriques, sa courbe et ses liens avec la fonction exponentielle.

Pour débuter Activité 1 Retour sur la fonction exponentielle On fixe un nombre réel a compris entre —10 et 10. A Paide du tableau de variations de la fonction exponentielle et de sa courbe déterminer le nombre de solution de l’équation exp( x) a dans On distinguera plusieurs cas en fonctlon de la valeur de a. c Cours 1. Définition Au cours de l’activité 1 nous avons vu Y = ex que l’équation exp( x ) = a possédait zéro ou une solution dans PAGF OF possible seulement lorsque a > O. a en gardant à l’esprit que c’est Nous allons maintenant donner un nom à cette opération.

Définition 1 On appelle fonction logarithme népérien la fonction qui à tout nombre réel a strictement positif associe l’unique solution réelle x de l’équation exp( x) = a. Cette fonction est notée ln (comme logarithme népérien et se lit en épe ant les lettres « u N ») et on a ln : ooo;+ avec exp (ln(a ) = a autrement dit eln(a ) = a ln(a ) 6 @ Cned – Académie en ligne Remarque Etant donné un nombre réel a strictement positif, ln(a ) est la solution de l’équax tion e a. ln(a ) s’écrit souvent Ina (sans les parenthèses) mais se lit quand même « L, N Ainsi ln2 se lit«L, N DE2

PAGF s OF qui est le logarithme situé sur l’axe des ordonnées (et a > O) pour obtenir Ina situé sur l’axe des abscisses. 7 2. Conséquences immédiates de la définition a) Signe de In a On choisit a > O. D’après le tableau suivant, SI a < 1 alors Ina < O. ln a D'après le tableau suivant, si a > 1 alors Ina > O. l’intervalle [O ; + m les fonctions x proques. Quant à la fonction x Exercice Solution x 2 et x x sont aussi réci- 1 sur l’intervalle IO ; + [ , elle est égale à sa réciproque. Simplifier ln(e -7) et e – ln 5. ln(e —7 ) —7 puisque pour tout réel a, ln ea — ??a.

Ete—ln5 puisque e-ln5=1-1 e ln5 3. Propriétés algébriques a) Logarithme népérien d’un produit Soit a et b deux réels strictement positifs. par définition de la fonction ln, on a : eln(ab ) = ab ; eln a = a ; eln par conséquent, on a eln(ab ) = eln a x eln b soit encore eln(ab ) = eln a 4 ln b car la fonction exp transforme une somme en un produit (c’est-à-dire que pour tous PAGF 7 OF la fonction exponentielle, la propriété de transformer chaque produit en somme s’appelle la relation fonctionnelle de la fonction logarithme népérien.

Simplifier Inca 2 ) et ln a lorsque a > O puis pour n e»• , simplifier ln(a n Le théorème précédent avec a = b s’écrit Inca x a) Ina + Ina c’est-à-dire, a 2 — 21na. Et plus généralement, pour n E», ln(an) = n Ina. Avec a b c (où c > O), elle s’écrit : cc) — ln c + ln soit Inc = 21n cou ln c = 1 Inc . De la propriété : pour n e», ln(an) = n Ina découle le résultat suivant : Propriété Si (un ) est une suite géométrique alors la suite (v n ) définie par v n Inun est arlthmétique. La fonction logarithme népérien transforme les suites géométriques en uites arithmétiques. ) Logarithme népérien d’ (logarithme népérien d’un inverse), on conclut que b Propriété : Logarithme népérien dun quotient : ln Ina — ln b. Il est important de s’habituer à utiliser la propriété précédente dans les deux sens : Pour tous réels a > O et b > O, ln = Ina — ln b. rithmes népériens : Ina —ln b — ln . pour regrouper la somme (ou la différence) de deux loga- pour séparer le logarithme népérien d’un produit (ou d’un quotient) : ln D – na —ln b. Exercices d’apprentissage PAGF q OF c) Six = ln 3 + ln 4 alors ln x = 12. Si x – e5 x e7 alors ln x = 35. e) Sia = Inll ln 4, 9 et b – ln(5, 2) alors a < b. 12 Courbes des fonctions exp et ln B Activité 2 Savoir tracer la courbe de la fonction ln (à partir de la courbe de exp). La symétrie orthogonale par rapport à la première bissectrice Soit (O , I , J ) un repère orthonormé du plan. On note la droite d'équation y = x dans le repère (O , , J) . Cette droite s'appelle la première bissectrice du repère (la deuxième bissectrice du repère étant conventionnellement la droite d'équation y —x ) Dans le repère (O , I J) :