03 Cours Limites De Fonctions
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g octobre 2014 à 9:32 DERNIÈRE IMPRESSION LE Limites de fonctions Table des matières 1 Limite finie ou infinie à Pinfini 1. 1 Limite finie à l’infini . 1. 2 Limite infinie à l’infini 2 org Sni* to View 2 Limite infinie en un 3 Limites des fonctions élémentaires 4 4 Opérations sur les limites 4. 1 Somme de fonctions 4. 2 Produit de fonctions 4. 3 Quotient de fonctions 4. 4 Conclusion . La droite d’équation y e est dite asymptote horizontale à Cf Remarque : On définit de façon analogue lim f (x) = e. nt des , x — net x imites nulles en et pour les deux premières. Leurs courbes admettent alors l’axe des abscisses comme asymptote horizontale. Exemple : Les fonctions de référence : x Définition 2 : Dire qu’une fonction f a pour limite +m en signifie que tout intervalle I M; +ml contient toutes les valeurs de f ( x) pour x assez grand – c’est à dire pour les x d’un intervalle ] A; On note alors : o Trois façons de tendre vers • x x2 tend « rapidement » vers l’infini.
La concavité est tournée vers le haut. • x x tend « moyennement » vers finfini. as v’ de concavité. • x x tend « lentement » vers rinflni. La concavité est tournée bas 2 Limite infinie en un point Définition 3 : Dire qu’une fonction Cf f a pour limite en a, signifie que tout intervalle I M; contient toutes les valeurs de f ( x) pour x assez proche de a – c’est à dire pour les x d’un intervalle ouvert contenant a.
On note alors : élémentaires Limites en rinfini lim f (x) lim f(x) si n pair —m si n impair non défini forme indéterminée, on change la forme de f ( x f(x)=x2+x=x21+ On a alors avec le produit : im X2 = lim 1 + Par produit lim f (x) = +m 2) Limite en +m de la fonction définie sur R + par : f ( x) = x On ne peut résoudre par la somme car c’est une forme indéterminée, on change alors la forme de f (x) Par quotient lim f (x) = lim f (x ) —+ On en déduit alors une asymptote verticale d’équation x = 2) Limite en de la fonction f définie par : f ( x) – 2X+1 3X+2 Comme le numérateur et le dénominateur tendent vers l’infini en nous avons une forme indéterminée : . Il faut donc changer la forme de alors im g [f (x)] -c Exemples : Déterminer les limites suivantes : 1) 2) lim h(x) avec lim k (x) k (x) cos 2+ tout ne N • par : un Soit f la fonction définie sur par : f ( x) = On a vu plus haut que : lim f (x) = 2 On en déduit que la suite (un ) converge vers n2 La réciproque de ce théorème est fausse. On peut en effet avoir une suite (un ) qui admet une limite sans que la fonction associée en admette une.
Pour s’en convaincre : Soit la fonction f définie sur R par : f (x) = 1 sinon La limite de f en + suite (un ) définie ‘existe manifestement pas tandis que la sait que : lim lim x) = E D’après la définition des limites, tout intervalle ouvert J contenant e, contient toutes les valeurs de x ) et h( x ) pour x assez grand. Comme g( x) Concluslon : h( x ) il en est de même pourf( x lim f (x) —e 2) Théorème de comparaison . en +• D’après la définition des limites, tout intervalle ouvert I M; contient toutes les valeurs de x ) pour x assez grand. Comme f (x) Conclusion : g(x) il en est de même pourf( x lim Exemples 1) Déterminer la limite de PAGFgc,Fq