Vibration des système mécanique

CHAP 1 : Étude théorique du comportement dynamique des structures mécaniques à N d. d. l 1. 1 – INTRODUCTION L’analyse modale expérimentale des structures mécaniques a pour objectif essentiel la détermination des caractéristiques dynamiques d’une structure réelle, c’est-à-dire les fréquences, modes et formes propres ainsi que les amortissements modaux. Cette discipline a connu un essor important ces derrières années en raison de la miniaturisation et de l’augmentation des performances des systèmes informatisés d’acquisition et de tr numérique des signa entre une excitation la structure et la rép ue cette excitation provoque. r 16 mesure du rapport se, accélération,… ) La structure étudiée (caisse d’automobile, bâti de machine, pont métallique, etc. .) est par nature continue alors que les mesures sont faites ponctuellement. Il est donc indispensable de procéder à une discrétisation de la structure. Cette discrétisation est déterminée par le choix des points d’applications des forces excitatrices et de celui des points de mesures. Supposons, ce qui est conforme à la pratique habituelle, que les forces soient appliquées où les mesures sont effectuées.

Le nombre n de degré de liberté du système iscrétisé est alors égal au produit du nombre m des points de dynamique des structures mécaniques conservatives peut être représenté par l’équation matricielle suivante : où M et K sont respectivement les matrices réelles symétriques Masse et Raideur de dimension (n , n) ; M Supposée définie positives, K non négative. f(t) représente le vecteur des forces excitatrices.

En régime harmonique, , où , étant la pulsation de la force excitatrice, La solution particulière harmonique (réponse forcée) du système conservatif (2) est donnée par Les solutions propres du Système Conservatif Associé sont onnées par le système homogène associé défini par : K-wMy Ce système linéaire admet n valeurs réelle , et n vecteurs propres associés y , Ce qui entraîne : Pour s=v, = 0 pour sov y% . M. y% est une quantité positive que l’on conviendra de normaliser à 1.

En rapportant ces relations dans une des équations (6), on obtiendra : L’ensemble de ces relations mises sous forme matricielle donne d’orthonormalité : Y. M. Y-I les relations (7) 16 passage de chaque résonance. Ce modèle ne peut donc pas représenter la réalité physique d’un système mécanique qui est généralement dissipatif. . 3 – REPRESENTATION DU COMPORTEMENT DYNAMIQUE DES SYSTEM ES DISSIPATIFS : 1. 3. 1 – Équation représentative ‘ Pour représenter les systèmes dissipatifs, on est obligé d’introduire de l’amortissement dans l’équation (2).

Cet amortissement peut être de type hystérique ou visqueux. Dans le premier cas il se traduit par une matrice K complexe dont la partie imaginaire est liée ? l’amortissement de la structure. Ce type d’amortissement a plutôt été utilisé pour caractériser des matériaux amortissants. Pour représenter des structures complexes, on préfère retenir une hypothèse ‘amortissement visqueux qui se traduit par : My(t) + (t) + Ky(t) = f(t) 4 M, B, où B symétrique non née PAGF te la matrice est en général pleine, sauf cas particuliers. on peut montrer que la condition nécessaire et suffisante pour que soit diagonale s’écrit : (B. M on souvent admis que cette condition était satisfaite, car dans ce cas, la matrice étant diagonale, on peut alors exprimer la réponse forcée sous forme d’une somme de fractions rationnelles faisant intervenir les modes propres du système conservatif 78 978 5 B c:D88 8 (12) Cette hypothèse est utilisée dans de nombreux codes de calcul éléments finis pour ffectuer un calcul de réponse forcée avec introduction d’une matrice diagonale d’amortissements généralisés.

PAGF s 6 critique, les 2n solutions propres su sont complexes et elles apparaissent par paires conjuguées. A chaque valeur propre (S % ), v = est associé un vecteur propre complexe 1. 3. 4 – Réponse forcée d’un système dissipatif : Pour exprimer la réponse forcée du système dissipatif sous forme dune superposition de modes, on travaille dans l’espace 2n. Associons à l’équation My(t) + Bys (t) + Ky(t) = f(t) My> My> (t) O, et posons : x(t) , l’identité : 6 On obtient Féquation matricielle • K O. P 6 6 différence Soit encore, les matrices N et L étant symétriques (s $x. N. x=O x. N. = O pour sav x . N. x% est une quantité positive que l’on conviendra de 7 En rapportant ces relations dans une des équations (15), on x. L. sav ; Définissons les matrices spectrales S et X du système dissipatif comme suit Avec : 7 6 ) $X. g, et (18) ) est diagonale. Si l’on tient compte des découpages des matrices S, X et g, on obtient pour la solution particulière y en régime harmonique : avec -fg b 5 bc Masses-Ressorts, avec ou sans amortissement, de calculer les solutions propres (fréquences et odes propres) ainsi que les réponses fréquentielles dues à une mono-excitation harmonique.

Doté d’une interface graphique opérationnelle, ce logiciel permet de visualiser l’amplitude et la phase ainsi que les Nyquists des réponses fréquentielles. 10 11. 2 – PROGRAMMATION – a saisie des données 11. 2. 1. 1 – La saisie des caractéristiques du système mécanique discret Une structure mécanique complexe, peut être considérée comme un ensemble de masses interconnectées par l’intermédiaire de ressorts et d’amortisseurs. Les caractéristiques de ces masses, ressorts et amortisseurs sont stockées dans des matrices ppelées respectivement mo, ko, et bO.

Les matrices mo, kO et bo sont définies de la manière suivante : mo = h Avec mi : la masse numéro iO(j,k) ij,ejj=km iO(j, k) = O, ejj*k nO(j, k) – nOj , ejj – km noc, k) – njk , ejj*k Avec kOi : la raideur entre la masse et le bâti kil : la raideur entre les de suivante (la matrice mo étant diagonale, on ne donnera alors que sa diagonale ; les matrice kO et étant symétriques, seule leur partie triangulaire inférieure sera alors stockée dans ce fichier) : nombre de masses (nombre de d. d. l du système étudié) ml m2 mi mn les masses k02 k32 knl