TSfichescours

Module et conjugué d’un nombre complexe Nombres complexes On appelle module du nombre complexe z = a + bi , a e IR , b e IR, Définition – Propriétés un nombre complexe z s’écrit de façon unique sous la forme a + On dit que a + bi est la forme algébrique du nombre complexe z. a est la partie réelle de z, on note a = Re(z) b est la partie imaginaire de z, on note b lm(z). Le nombre complexe Les complexes de la m ore imaginaires purs.

Deux nombres comp même partie réelle Sni* to View t appelés ulement si ils ont et même partie imaginaire. le réel positif Iz a2 + b 2. Izz z+z’=z+z 10-1 • Re(z) ; lm(z) -z • z est réel zzz 3 conjugué duDnombre complexe z le nombre complexe z = a – bi Si zlz2 • z. z = Iz12 (donc z. z est un réel positif) Équation du second degré à coefficients réels http://xmaths. free. r/ Iz z’lE Izl+ Iz’ 1/4 Si z r(cos a + i sin 3) alors • z + sin(-e)) sine o 43 et V deux vecteurs non nuls d’affixes respectives z et z’ On a alors A, B et C étant trois points distincts d’affixes zA, zg et zC dans (0; u, v), alors : (V ; argzi -arg z [2TTl z et z’ étant deux nombres complexes non nuls on a : arg 010 = – arg z [21-0 arg (Zn) n arg z [21-1] ?? arg Oz D = argz- arg z’ [211] • -arg z [2rt] arg z) = arg z + [21-1] • arg(zz’) argz+ arg z’ [21T] AB et AC sont colinéaires E IR* 3 associe le point M’ d’affixe z’ avec z’ – = k (z – w) où k est un réel non nul fixé et u. un complexe fixé est l’homothétie de centre Q d’affixe et de rapport k. e e i(a-e’) (e ia) e ine Le cercle de centre Q d’affixe et de rayon r est l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant Iz-wl = r TS – Fiche de cours : Nombres complexes 4/4 Limites Asymptotes à une courbe Les formes indéterminées On dit qu’il y a forme indéterminée lorsqu’on ne peut pas donner e résultat général à partir des tableaux précédents.

Les formes indéterminées sont de différents types et on peut dans beaucoup de PAGF S général . Factorisation du terme « dominant ». (terme de plus haut degré pour un polynôme) : Factorisation des termes « dominants » puis simplification. 0 : Factorisation d’un terme tendant vers O, puis simplification. Ox : peut en général se ramener à l’une des formes ou O .

Lorsque des racines carrées interviennent et que les méthodes ci- dessus ne donnent pas de résu tat, on pourra multiplier par la quantité « conjugueei’ co sont des abréviations à ne pas utiliser (Les notations – dans un devoir rédigé) Limites et inégalités Limite d’un inverse Si g ou (vn) a pour limite Alors 1 ou 1 Oa pour limite g ovnc 6 3 où la limite est cherchée : la ; +4 pour une limite en – h ; xo + h[ pour une limite en xo etc… Limites par comparaison Si pour tout x c f(x) g(x) et si lim g(x) = alors lim f(x) = Si pour tout x el If(x) – Il E g(x) et si lim g(x) = O alors lim l.

Comparaison de limites Si pour tout XE f(x) E g(x), si lim f(x) = I et lim g(x) = l’ alors E l’. Théorème des gendarmes Si pour tout x E g(x) E f(x) E h(x) et si lim g(x) = lim h(x) = I , alors lim f(x) = l. Ce théorème est aussi valable pour une limite infinie. pas de résultat TS – Fiche de cours : Limites – Asymptotes Continuité – Dérivabilité Limite d’une composée de fonctions a, b et désignent soit des réels, sot soit Si lim b et lim l, alors lim g o f(x) = l. 7 3 d’une fonction rationnelle en -Fm ou en -m est la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. lim sinx=l ; lim cos x- 1 = O.

Les fonctions sinus et cosinus n’ont pas de limite en On trouvera dans les fiches « logarithme népérien » et « exponentielle » les limites correspondant à ces fonctions. (C) étant la courbe représentative de la fonction f Asymptote parallèle à Oy (verticale) (C) a pour asymptote la droite d’équation x = a si : ni en lim f(x) ou -m (il peut s’agir d’une limite à droite ou à gauche seulement) lim f(x) = bou lim f(x) = b Asymptote oblique , asymptote courbe (C) a pour asymptote la droite d’équation y = ax + b si : lim f(x) (ax 4 b) = 0 ou lim f(x)- (ax • b) = 0 Si u est une fonction dérivable sur un intervalle l,

Si v est une fonction dérivable sur un intervalle J, et si pour tout x e l, u(x) e J, alors vo u est dérivable sur et on a (vo u = u ‘x (v ‘o u) (C) a pour asymptote la courbe représentative de g si lim f(X) O Ou lim f(X) – g(X) -O l’application qui à tout x de I associe le nombre dérivé de f au point x est appelée fonction dérivée de f. La fonction dérivée de f est notée P. Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle u + v est dérivable sur et on a (u + v)’ = ui + vi u v est dérivable sur I et on a (u v)’ = u’v + u v’ Si a e IR , a u est dérivable sur et on a (a u)’ = a u’

Si u ne s’annule pas sur , alors 1 est dérivable et DID — Si v ne s’annule pas sur l, alors est dérivable et Opérations sur les dérivées Asymptote parallèle à Ox (horizontale) (C) a pour asymptote la droite d’équation y — b si PAGF 3 variations d’une fonction Fonction Dérivée Soit f une fonction dérivable sur un intervalle Si f’ est nulle sur l, alors f est constante sur l. Si f’ est positive ou nulle sur l, alors f est croissante sur l. Si f’ est négative ou nulle sur l, alors f est décroissante sur l. f'(x) = f(x) = ax + b f(x) = a f(x) = x2 f'(x) 2x f'(x) 3×2 fŒ)-1