Solution Td Stokes

Part MA205: *ux, circulation. Divergence, rotationnel… Exercice 1 Montrer que on a toujours:f étant un champ scalaire et V un champ vectoriel: Sni* to View div((Rot V ) = O R0t(Gradf ) = O div(Gradf ) = 42*2 2 @x @z or 13 l’intégrale curviligne:l (x2 + y 2 )dx + (x2 y 2 )dy; étant le triangle OAB, avec ,O), orienté dans le sens trigonométrique (par 2 méthodes) Exercice 7 Calculer l’intégrale curviligne:J — y)dz; étant l’hélice circulaire paramétrée par. (Y z)dx + (z x)dy + (x R cos t; y — — R sin t; z = ht;R et h donnés, O Exercice 8 Soient ! et ! les formes dia érentielles dé… nies sur R3 par: ! 1 = (7X6 + 2)dx + (3X2 + l)dy ! 2 (x; y) = xydx + y 2 dy : 1) ! 1 et ! 2 sont-elles exactes? 2) Déterminer une fonction f telle que 3) Dans le plan muni d’un repère orthonormé (o, i ; j soit C la courbe dé… nie sur 2] x = 2 cos t y = 3 sin t a) Reconnaitre et représe 13 ntc appartenant à [ 1) Reconnaître S 2) Exprimer l’élément de surface ds à Paide de 22 @ OM @ OM Calculer ds 3) Calculer l’intégrale double:K dS Que représente cette intégrale?

Exercice 10 Soit f. ! xz2 : Calculer l’intégrale double KO – Soit 3: boule de centre R et de rayon 1: Que représente A = dxdydz? Calculer A en utilisant les coordonnées sphériques (M ) est un champ de gradient, c’est à dire dérive d’un potentiel scalaire 2) Déterminer au moins une solution f telle que V (M ) = Gradf 3) Calculer la circulation de V (M ) le long de l’arc paramétré parcouru dans le sens des t croissants: x = t; y = t2 ; z = t3 ; 1 t 3: 4) Peut-on appliquer la formule de Stokes?

Exercice 15 Soit champ de vecteurs V (M ) = 2xyz Soit S la surface paramétrée par: x = r cos + sin t); z = r; Orl;Ot2 2zj+z2y Soit la courbe intersection de S et du plan « FI » ; D la surface intérieure 1) Donner une paramétrisatlon de et une équation cartésienne de 2) Calculer la circulation de V (M ) le long de l’arc paramétré a) directement avec une intégrale curviligne b) en utilisant la formule de Stokes Exercice 16 a) Calculer la divergence du champ de vecteurs: V (M ) = yz i xzj + xyk ; sur le domaine sphérique S: sphère de centre O et de rayon 1. ) En déduire le de V ( 3 rotationnel… EXERCICE 1 Montrer que on a toujours. •f étant un champ scalaire et V un iV(R0t v ) = o Rot(Gradf) = O SOLUTION: voir cours EXERCICE 2 Soit le champ de vecteurs V (M ) = (x2 2 z) +(2xy yz) j +(x2 z) k . PAGF s 3 maximum dans la direction du gradient en P c’est à dire dans la directlon: 12 i +14 j -12 k EXERCICE 5 4 Trouver la dérivée directionnelle du champ: f (x; y; z) = x2 yz3 ; en dans la direction de la courbe paramétrée de l’espace: C: x = e t ; y = 2 sin t + 1; z = t cos t : cela signi… e que l’on calcule Gradf . ; où Gradf est calculé en p de la courbe C, et v vecteur unitaire dirigeant la tangente à C en P. SOLUTION Gradf – v vecteur unitaire dirigeant la tangente à C en P: + sint)kp 6 On obtient: la dérivée directionnelle: 1. 3 6 3 +0 32 Par la formule de Gree Riemann On peut prendre P = x2y2, RORX+I 1×2 y 2 + (x2y 2 )dy- 1 (0 = 32 EXERCICE 7 Calculer l’intégrale cuNiligne:J = (y z)dx + (z x)dy + (x étant Phélice circulaire paramétrée par: x= R cos t; y = R sin t; z = ht;Ret h donnés y)dz; On remplace on calcule z'(t) On obtient:J = 2 + R) EXERCICE 8 1) ! est exacte car elle est fermée; ! 2 n’est pas exacte car non fermée 2) On a par exemple: + 3x2Y+2x y )a) C la courbe est une ellipse b) une représentation cartésienne de C est Y2 x2 9 — O car C est2 une courbe fermée et 1 est exacte – C (xvdx + y dy) 7 3 ! @ OM @ OM pour IJ : N = l;on a dS=LJ dudv @u ! OM IJ pour U Puis! on a: ! COS2 COS ; COS2 ‘ Sin , • cos Donc ‘ = cos ‘OM • sin ) 3 Calculer le tux du champ de vecteurs IJ (M ) (1 x2)i + 12 y(y+ 1) z(2x y) k à travers la surface S (nappe paramétrée) orientée par sa normale extérieure: x = u2 ; y = u; z = v;pour (u,v) appartenant au domaine K = [ 1 ; 1] RI Le se calcule par: dudv= 1 (1 u4 u3 u2 – 14 15 EXERCICE 12 Calculer, par 2 méthodes, le tux du champ de vecteurs V (M ) x I z k à travers la demi sphère: x2+y2 z 2 = 1 ; Méthode directe: Le s PAGF 13 borné de R limité par une surface S orientée vers l’extérieur. lors zz zzz divV dxdydz so Alors: comme ici la demi sphère n’est pas une surface fermée, il faut la compléter par le disque intersection de S et du plan xOy: on obtient une surface fermée S’, qui est S [D; D étant le disque unité: RRR Comme Div V 1+1 a: divV dxdydz – dxdydz = et comme le tux à travers S’de V est volume de la demi sphère= V : N dS; reste à chercher D