Second Degre Cours

Equation du second degré Définition : Une équation du second degré a pour forme générale . ax2+bx+c=O avec a 10. Les solutions (SI elles existent) d’une telle équation sont les abscisses des points d’intersection : de la parabole d’équation P d’équation y ax2 et de la droite D d’équation y = – bx- c Résolution graphique d’une équation du second degré Cas 1 : (figure page 3) La droite (D) coupe la Les deux solutions di d’intersection. Exemple Résoudre graphique Pour cela : ints A et B. es des points OF4 p g 1. On trace une parabole (P) d’équation y = x2. On trace une droite (D) d’équation y = -x + 6. 3. Les points d’intersection A et B ont pour coordonnées respectives (- 3; 9) et (2; 4). Les abscisses XA 3 et XB = 2 sont solutions de l’équation x2 + x O. Vérification : (-3)2 + (-3) o, 22+2-6=0. tangence de la droite à la parabole. Résoudre graphiquement x2 -x + 1 = 0. Tracer une parabole (P) d’équation y = x2. Tracer une droite (D) d’équation y = 4x -4 Le point d’intersection a pour coordonnées : (2 ; 4) Son abscisse x = 2 est solution de l’équation : x2 —x + 1 Cas 3 : (figure III page 3)

La droite (D) ne coupe pas la parabole L’équation n’a pas de solution dans ce cas Résoudre graphiquement l’équation – x2 – x -2 = O. pour cela Tracer une parabole (P) d’équation y x2. Tracer une droite (D) d’équation y = -x -2. I n’y a pas de point commun aux deux tracés. II n’existe donc pas de réel x pour lequel – x2 -x -2=0 . X2+x-6=o Il. -x2-x-2=O -6-0 IV. Soit à résoudre graphiq 2 ation: 2 x2 + x l’équation 2 + x- 6-0 Résolution d’une inéquation du second degré : . Signe du trinôme ax2+bx+c = O, al 0: a. Cas où 0>0:

Recherche graphique du signe de f(x) = x2 – 4 x + 3 : donc le trinôme f(x) = x2 – 4x + 3 admet 2 racines xl = 3 etxz=l Par lecture graphique pour x < 1 ou x > 3, f(x) = + Pour 1 < x < 3, f(x) -4x +3 < O Ceci peut se résumer par le tableau suivant Recherche graphique du signe de f(x) = - 2x2 - x +6 donc le trinôme f(x) = -2 x2 -x + 6 admet 2 racines xl = etX2 --2 3 Dans ce cas, le trinôme a x2+ b x + c admet une seule racine telle que: et se factorise comme suit : ax24bx+c- - a (x - xo)2 Tableau de signes : Signe de a Signe de (x - xo)2 Signe de ax2+bx+c= a (x —xO)2 c.

Cas où Cl < O La factorisation du trinôme a x 2 + b x + c est impossible. Le trinôme a x 2 + b x + c, dans ce cas, est toujours du signe de a. Il. Solution d'une inéquation du second degré . Résoudre une telle inéquation revient à étudier le signe du trinôme ax2+bx+c Trois cas sont possibles : 1. Si et a) a (x- xl )(x - x2) est du signe de a à l'extérieur de xl etx2 b) a (x — — x2) est du signe contraire de a à l'intérieur de xl et 2. Si ; a F + b x + c = a (x- x0)2 est toujours du signe de a 3. Si ; le trinôme a x 2+ b x + cest toujours du signe de a. 4