Rupture Et Plasticit

Rupture et Plasticit Pierre Suquet Table des mati 1 Comportements non lin eaires des mat eriaux solides 1 . 1 Vari ‘ et’ e des comportements macroscopiques . 1. 2 Diversit » e des m ‘ ecanismes microscopiques . Sni* to View 1. 3 Crit’ eres . 1 . 4 Exercices . or 209 elasto-plastique Surface seuil D  » eformation plastique Exercices . Principe de la dissipation maximale et convexit e du domaine de plasticit • e 8 13 27 32 33 38 51 55 6. 4 Exercices . 137 . 138 . 144 . 160 . 164 7 Charges limites 7. 1 Chargements potentiellement supportables.

Approche statique 7. 2 Approche cin ‘ ematique par rext erleur . 3 Conclusion . 167 . 168 . 174 . 179 efforts, certains mat eriaux d • ecoulent • a la mani ere de fluides, d’autres r’ esistent comme des solides. D’autres enfin commencent par r ‘ esister mais, si l’on augmente l’effort, finissent par c’ eder et s » ecoulent. Parmi ces mat eriaux dits solides certains sont fragiles et cassent sans d’ eformation apparente importante, d’autres se d eforment notablement avant rupture (on les dit ductiles).

N’ eanmoins ces classifications sont toujours relatives (un m ‘ etal est fragile ‘a froid mais ductile ‘a chaud) et parfois ambig ues (un milieu granulaire ‘ ecoule comme un fluide, mais, une fois compact’ e, pr• esente la coh esion d’un solide). Ce chapitre Pr’ esente dans un premier temps les comportements des mat eriaux solides les plus couramment rencontr’ es ‘a l » echelle de l’ing’ enieur. A plus petite ‘echelle, ces mat ‘ eriaux pr ‘ esentent des m ‘ ecanismes de d’ eformation encore plus vari’ es qu’il est utile de conna Itre pour mieux comprendre leur comportement macroscopique.

Nous nous limiterons aux m ecanismes observ es dans les mat eriaux cristallins (m etaux, roches, certains polym eres). Enfin, ayant mis en ‘ evidence diff’ erents r’ egimes ans le comportement des mat ‘ eriaux, nous aborderons la question des crie eres, essentiels pour traduire la transition d’un r’ egime ‘a l’autre. 1. 1 Vari • e des comportements macrosco i ues vari ‘ et e des comportements des mat • eriaux est de les tester au moyen d’essais uniaxiaux. 1. 1. 1 Essais uniaxiaux classiques Un essai est dit uniaxial lorsque le tenseur de contrainte est port ‘e par une direction fixe u o(x) = off) u u.

CHAPITRE 1. COMPORTEMENTS NON LINEAIRES DES MATÉRIAUX SOLIDES L » etat de contrainte est caract ‘ eris’ e par le seul champ scalaire o. Pour Retre directement exploitable dans l » ecriture de la loi de comportement du mat eriau homog ene que l’on teste, il est Pr’ ef’ erable que l’essai soit homog• enel (au moins dans une certaine r  » egion de l » echantillon test ‘ e), ce qui signifie que l » etat de contrainte est uniforme dans cette r egion (il ne d’ epend pas de la position x).

En vertu de l’homog’ en ‘ eit•e du mat’ eriau, le champ de d ‘ eformation est ‘ egalement uniforme dans cette r’ egion, au moins tant qu’il n’y a pas apparitlon d’Instabillt e (il peut y avoir alors plusieurs valeurs de la d’ eformation associ’ ee • a ne m -eme valeur de la contrainte ce qui conduit a un champ de d’ eformation non uniforme et se traduit sur le plan physi ue ar une striction de l » eprouvette). • etes d » eprouvette servent ‘a acccrocher l » eprouvette et ‘a lui transmettre l’effort ext• erieur, tandis que la partie centrale, dite partie « utile est la zone o • u l’on peut raisonnablement consid ‘ erer que l’ • etat de d • eformation est homog ene et sert aux mesures de d’ eformations. On mesure cette d • eformation par diff- erents moyens (jauges de d’ eformation, extensom etre, corr• elations d’image… ).

La contrainte o FIS se d’ eduit de la mesure de la force appliqu ‘ ee et de la mesure de la section S de la partie utile de l’ • eprouvette. Nous nous limiterons aux (re ativement) petites d’ eformations et nous placerons dans le cadre de l’hypoth ese des petites perturbations (H. P. P. ). En cons’ equence, la section S est la section initiale de l » eprouvette et les diff’ erentes mesures de la contrainte (contrainte nominale, contrainte de Cauchy) et de la d’ eformation (Green-Lagrange, d’ eformations logarithmiques) co  » Incident.

L’essai peut aetre pilot’ e en contrainte (on impose une valeur ‘a a force donc a la contrainte a) ou en d • eformation (on applique un d ‘ eplacement aux t-etes d » eprouvette de fa,con a atteindre une d • eformation prescrite E dans la zone utile de V’ eprouvette). IJne histoire de chargement (en contrainte ou en d eformation) est appliqu ‘ ee ‘a I » eprouvette et les r esultats des mesures sont port’ es dans un diagramme (o, E). Diff• erents types de chargement permettent de mettre en evidence diff’ erents aspects du comportement des mat ‘ eriaux test chargement permettent de mettre en evidence diffi erents mat eriaux test es.

En simplifiant, les trois grands types de comportement qu’un mat eriau est susceptible d’exhiber (en fonction de la temp erature, de la vitesse de d • eformation et du niveau des contraintes) sont le comportement ‘ elastique, le comportement plastique et le comportement visqueux. Charge monotone. On augmente progressivement la contrainte o (ou la d’ efarmation E si Fessai est pilot’ e en d’ eformation) et on mesure la d eformation qui en r’ esulte (ou la contrainte). Cet essai permet de mettre en • evidence plus pr• ecis ement les ph enom enes suivants (cf figure 1. ) ) a non lin ‘ earit’e eventuelle de la loi : l’essai met en evidence un domaine (en contrainte ou en d’ eformation) ‘a l’int’ erieur duquel le comportement (c’est • a dire la relation o, E) est lin ‘ eaire et ‘a l’ext’ erieur duquel il devient non lin eaire. Des essais non homog• enes, comme l’essai de flexion, peuvent ‘ egalement Aetre utilis es, mais ils n ecessitent une mod ‘ elisation des champs de contrainte et de d’ eformation pour Aetre correctement traduits en lois de comportement. 2 DES COMPORTEMENTS MACROSCOPIQUES 1. . VARIET 1 . 1 — Diffi erents types de comportement observables lors d’un ssai de traction simple monotone. (a) : mise en evidence de la perte de lin earit• e dans le comportement. (b) : caract ere durcissant ou adoucissant du comportement. (c) : mat’ eriau ‘elastique-fragile. (d) : mat eriau endommageable. (e) • courbe de traction r’ eelle d’un acier doux, mettant en ‘ evidence un plateau plastique. (f) : id’ ealisation de la courbe Pr’ ec ‘ edente par un comportement ‘ elastique parfaitement plastique. ) Le durcissement ou l’adoucissement du mat’ eriau. Le durcissement correspond au cas d’une courbe (o, E) croissante (toute augmentation de d formation requiert une augmentation de contrainte), tandis que l’adoucissement correspond ‘a une courbe (o, E) d ecroissante (la contrainte diminue alors que la d ‘ eformation augmente). Pour d ‘ etecter correctement l’adoucissement il est n ecessaire de contr- oler l’essai en d  » eformation (le pilotage en contrainte ne peut se poursuivre au der a de la contrainte maximale et provoque une instabilit e de l’essai). ) La plus ou moins grande ductilit e du mat eriau : certains mat ‘ eriaux se rompent tr • es rapidement apr• es avoir d’ e ass•e leur domaine de lin ‘ earit’e. Lorsque la ruptu l’inverse certains mat  » eriaux se d • eforment beaucoup avant de se rompre (caoutchoucs, polym eres, certains m etaux • a chaud). Ils sont dits ductiles et la d’ eformation ‘a rupture est une mesure de la ductilit• e du mat eriau. La figure e Pr’ esente la courbe de traction typique d’un acier doux. On note que sit-at apr• es la perte de lin ‘ earit’ e cette courbe pr ‘ esente un plateau avant de se redresser pour des d’ eformations plus importantes.

On repr’ esente souvent ce type de comportement par un mod • ele de plasticit e parfaite (flgure 1. f) qul consiste en une mont ee elastique lin eaire suivi d’un plateau •a contrainte constante. d) La viscosit•e du mat eriau : l’essai est contr•ol ‘e en d ‘ eformation et effectu’e ‘a diff’ erentes vitesses de d eformation E. Si l’on obtient des courbes (o, E) diff’ erentes, le mat’ eriau test’ e pri esente une viscosit e, c’est • a dire une sensibilit’e ‘a la vitesse de sollicitation. C’est typiquement le cas des polym eres ou des m • etaux • a chaud (et m -eme des c’ eramiques a haute temp erature).

En revanche les m ‘etaux ‘a temp erature ambiante ne Pr’ esentent pas en g’ en ral de sensibilit•e • a la vitesse de d eformation_ Si l’on s’int ‘ eresse aux tr’ es grandes vitesses de d’ eformation (comportement dynamique des mat ‘ eriaux pour des probl emes d’explosion ou de crash) les machines d’essais classiques ne permettent plus d’imposer des vitesses de d’ eformation suffisamment ‘elev’ ees et il faut alors avoir recours a d’autres essais (barre d’ eformation suffisamment elev ‘ ees et il faut alors avoir recours ‘a d’autres essais (barres de Hopkinson par exemple) dans lesquels l’hypoth ese d’homog• en eit e des contraintes et des ‘ eformations n’est plus valide ce qui complique notablement le d • epouillement. Charge-d ‘ echarge. On augmente la force F puis on la ram ene ‘ a O. Cet essai permet de mettre en particulier en • evidence (figure 1. 2) : a) L’an ‘ elasticit’e : si les courbes de charge-d’ echarge co » Incident, le milieu est • elastique ( • eventuellement non lin eaire). Dans le cas contraire il est an elastique. Apr• es d • echarge compl ete, il subsiste une d’ eformation r • esiduelle.

Cette d’ eformation r’ esiduelle peut s’effacer avec le temps, signe d’une viscosit’ e du mat’ eriau. Dans les mat eriaux insensibles ‘a la vitesse de chargement (m ‘ etaux ‘a froid par exemple), cette d ‘ eformation r’ esiduelle est permanente, tant que l’application d’une contrainte ne vient pas la perturber. La d • eformatlon au pont A se d ‘ecompose donc en (figure 1. 2b) une partie Eel r’ ecup erable par d • echarge (d’O u le nom de partie ‘ elastique de la d’ eformation) et une partie Ep qui subsiste apr• es d ‘ echarge (c’est la partie plastique, ou plus g’ en ‘ eralement an elastique, de la d’ eformation) : E = Eel + Ep . 4 1. 1. VARIÉT PAGF OF