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S ries Chronologiques Agn ‘s Lagnoux lagnoux@univ-tlse2. fr ISMAG MASTER 1 M100141X Table des mati res 1 Introduction 1. 1 S’ rie chronologiq exemples . 1. 1. 1 D ‘finition . Sni* to View 1 . 1. 2 Description d’une s • rie chronologique 1. 1. 3 Objectifs principaux 1. 2 Description sch ‘ matique de I’ ‘tude compl te d’une s’ rie chronologique 1. 2. 1 Correction des donn es . 1. 2. 2 Observation de la s’ rie 1. 2. 3 Mod’ lisation 4 7 8 11 12 13 2 Mod ‘ lisation d’ terministe 2. 1 Le mod additif. 2. 2 Le mod ‘le multiplicatif. 2. Les mod ‘les mixtes 2. 4 Choix du mod’le . . PAGf 7 OF l’IE* > d’un lissage par moyenne mobile . . 2. 1 Effet d’une moyenne mobile sur une tendance 4. 2. 2 Effet d’une moyenne mobile sur une composante saisonni re 4. 2. 3 Effet d’une moyenne mobile sur les fluctuations irr’ guli res 4. 2. 4 Choix pratique de l’ordre d’une moyenne mobile OF PAGF s OF naturel (comme le nombre de taches solaires). Cette suite d’observations d’une famille de variables al atoires r ‘ elles not ‘ es (Xt )tEO est appel’ e s’ rie chronologique (ou temporelle).

Dans la suite de ce cours, nous la noterons (Xt)tca oU (Xt 0) , o • l’ensemble est appel’ espace des temps qui peut -tre – discret (nombre de voyageurs SNCF quotidien, temp • rature aximale… ). Dans ce cas, e c Z. Les dates d’observations sont le plus souvent quidistantes : par exemple relev s mensuels, trimese triels… Ces dates ‘ quidistantes sont alors index’ es par des entiers : t = 1, 2, , Tet T est le nombre d’observations. On dispose donc des observations des variables . , XT issues de la famille (Xt )tee o • e cz (le plus souvent e = Z).

Ainsi si h est fintervalle de temps s parant deux observations et to l’instant de la remi re observation, on a le sch ‘ ma suivant PAGF OF m thodes pr• sent’ es dans ce cadre sont diffi rentes de celles pour les s’ ries chronologiques temps iscret et Pr’ sent ‘ es dans la suite. Dans ce cours, nous consid rerons uniquement des processus stochastiques (Xt )tE9 temps dlscret et unidimensionnels : chaque observation Xt est un r’ el. On peut galement s’int resser des s • ries chronologiques multidimensionelles, c’est un vecteur de Rd . ire telles que Xt soit Les Figures 1 et 2 pr ‘sentent diff’ rents exemples de s’ ries chronologiques. 1. 1. 2 Description d’une s’ rie chronologique 7 OF exemple, la s • rie b) de la Figure 1. pri sente des cycles r’ guliers au cours du temps et de mome amplitude. •la composante r’ siduelle (ou bruit ou r sidu) (pt ) correspond es fluctuations irr’ guli res, en g’ n’ ral de faible intensit’ mais de nature al’ atoire. On parle aussi d’al Par exemple, la s’ rie c) de la Figure 1. un comportement assez irra gulier : il y a comme une sorte de bruit de faible amplitude qui perturbe les donn ‘ es. Les mod ‘les Pr’ sent’ s dans ce cours tiennent compte de ces trois composantes (tendance, saisonnalit et fluctuations irr• guli res). Il faut cependant remarquer que fon pourrait envisager d’autres composantes. 8 OF cycle. Dans le cadre de ce cours, la composante correspondant aux ph nom nes accidentels sera int gr • e aux luctuations irr guli res de la s • rie et la composante tendance regroupera la fois la tendance et le cycle. . 1. 3 Objectifs principaux L’ ‘tude d’une s ‘ rie chronologique permet d’analyser, de d ‘ crire et d’expliquer un ph nom • ne au cours du temps et d’en tirer des cons ‘ quences pour des prises de d cision (marketing… ). Cette ‘tude permet aussi de falre un contr- le, par exemple pour la gestion des stocks, le contr »le d’un processus chimique.. . plus t, nous pouvons d’i’ plus grande est Perreur. L’intervalle de pr  » cision, d’ fini par les valeurs XT (h) et XT (h), est susceptible de contenir la valeur inconnue XT *h .

La qualit• de la pra diction pourra -tre mesur• e en se basant sur 80% des observations, puis en simulant une pr• diction sur les d’observatlons restantes. Cette technique est aussi utile pour : – les s • ries qui contiennent des « trous » mesurer l’effet d’un ph ‘ nom ne accidentel (erreur,… ) un autre probl me int ressant est la d « tection de ruptures r ‘sultantes, par exemple, d’un changee ment de politique ( ‘ conomique). Ces ruptures peuvent -tre de deux ordres : une rupture de niveau (par exemple, le cours du PNB espagnol a • t’ fortement modifi raison de le crise p ‘troli’re de 1973) ou