Notion du processus stochastique et fonctions aléatoires

Notion du processus stochastique et fonctions aléatoires AKadrani Institut National de Statistiques et Économie Appliquée (INSEA) Rabat, Avril 2013 Chapitre 1 Processus stochastique et fonctions aléatoires or2s Introduction Sni* to View Un système naturel au hasard peut être représenté souvent le e temps et assujeti ) où t ET (T est temps) et w E Q où (Q, F, P) est un espace probabilisé. Deux façons pour représenter ce système: Une famille (Xt )tET de v. a définies sur (Q F, P) (donné) telles que: (E , B) espace mesurable, appelé espace des « états ». 2 On regarde, pour w E n fixé, l’application

On regarde, pour w fixé, rapplication X (t, w) = Xt(w ET w X (t. w)eT. 4) est dite fonction aléatoire. (ll existe une tribu B T pour laquelle est F — BT mesurable). Un système naturel physique évoluant dans le temps et assujeti peut être représenté par une fonction X (t, w ) où t e T (T est temps) et w c Q où (Q, F, P) est un espace probabilisé. Deux Une famille (Xt )teT de v. a définies sur (Q, F, P) (donné) telles que: Xt:cn, F, (E, B) On regarde, pour w O fixé, Fa lication PAGF OF (E , B) espace mesurable, appelé espace des « états » On regarde, pour w e n fixé, Papplication est dite fonction aléatoire. l existe une tribu B T pour laquelle processus stochastique et fonctlons aléatoires peut être représenté par une fonction X (t, w ) où t E T (T est Une famille (Xt )tET de v. a définies sur (Q, F, P) (donné) telles que: appelle processus stochastique définie sur (Q, F, P) à valeurs dans (E , P), le terme n, F, P, (Xt )tET constitué par (Q, F, P) qui est un espace de probabilité et d’une famille (Xt )teT de variables aléatoires définies sur (Q, F, P) à valeurs (E , B).

L’espace (Q, F, P) est appelé espace de base et (E , B) est dit espace de phase ou espace des états du processus. Exemple 1. 1: On considère N lancers indépendants d’un dé à six faces non pipé. On souhaite modéliser le résultat global de l’expérience par un processus stochastique. , N} ensemble des paramètres. – Xi v. a représentant le résultat du ième lancer, i . E = {facel, face2, face3, face4, faces, face6} l’espace des états muni d’une tribu des parties B = P(E ). 1, 2, 3, 4, 5, 6}N espace de probabilité muni d’une tribu des parties F PO) et d’une mesure de probabilité P({w }) 6—N , w e Q. Processus stochastique Définitions Définition 1. 1 Soit T = a. On appelle processus stochastique définie sur (Q, F, P) à valeurs ans (E , P), le terme Q, F, p, (Xt )tET constitué par (Q, F, P) qui est un espace de probabilité et d’une famille (Xt )tCT de variables L’espace (O, F, P) est appelé es ace de base et (E , B) est dit stochastique N} ensemble des paramètres.

Xi v. a représentant le résultat du ième lancer, i e T . – E = {facel, face2, face3, face4, faces, face6} l’espace des états – Q = (1, 2, 3, 4, 5, 6}N espace de probabilité muni d’une tribu des F = P(Q) et d’une mesure de probabilité P({w }) = 6—N , w E Q. dans (E , P), le terme n, F, p, (Xt )tET constitué par (Q, F, P) qui est un espace de probabilité et d’une famille (Xt )tET de variables Q F, P) à valeurs (E , B).

L’espace (n, F, P) est appelé espace de base et (E , B) est dit Exemple : , N} ensemble PAGF s OF face2, face3, face4, faces, face6} l’espace des états muni d’une tribu des parties B = P(E – Q (1, 2, 3, 4, 5, 6}N espace de probabilité muni d’une tribu des • , N} ensemble des paramètres. Chapitre OF dans (E , P), le terme n, F, P, (Xt )teT constitué par (Q, F, P) qui L’espace (Q, E P) est appelé espace de base et (E , B) est dit Exemple 1. On considère N lancers Indépendants d’un dé à six faces non pipé On souhaite – Xi v. a représentant le résultat du ième lancer, i ET .

E {facel, face2, face3, face4, face5, face6} l’espace des états d’une tribu des parties B P(E – Q = {1, 2, 3, 4, 5, espace de probabilité muni d’une tribu des F = P(Q) et d’une mesure de probabilité }) = , w Q. Espaces produits d’espaces probabilisés Soit T = et soit {(Et , Bt )} une suite d’espaces probabilisables, note ET- Et l’espace produit des espaces {Et teT Pour Sc T une partie finie PAGF 7 OF ES )teS Soit A E BS , nous appellons cylindre de base A dans ET , CA, l’ensemble CA ns (A) où TIS est la projection canonique de E T sur ES (at )tET (at )teS CA/AGBS.

Notons C scr note ET = Pour S c T une partie finie de T , on note ES – Et le produit 8 OF o ({TTS IS CT, S finie}) , même plus B T n’est autre que la tribu engendrée par {rit ‘t E T Proposition 1. 1 pour que l’application f : (Q, F) ET, BT soit mesurable, il faut il suffit que pour tout t ET l’application: soit mesurable. Espaces produits d’espaces probabillsés Définition 1. 2 La tribu engendrée par CT sera notée gt ou encore B T .

L’espace probabilisable ET , 3 T est appelé espace produit probabilisable des (Et )teT . Remarques 1. 1• i. Si T est fini on retrouve l’espace produit ordinaire. 2i. B T n’est autre que la tribu engendrée par la famille d’applications (RS /S CT S finie}, c’est à dire ême plus g T n’est autre que la tribu engendrée par /t T Pour que l’application f : (Q, F) ET , BT soit mesurable, il faut il suffit que pour tout t e T l’application: Tite f : (Q, F) PAGF produit ordinaire. RS IS CT S finie}, c’est à dire B T = finie)) , même plus B T n’est autre que la tribu engendrée par /t T Pour que l’application f : (O, F) ET , BT soit mesurable, il faut ITt•f: (Q, F) Fonctions aléatoires Définition Soit X = Q, F, P, (Xt )tET un processus stochastique à valeurs dans (E , B). Soit ET- Et avec Et- B, Vt GT. La correspondance: avec, est F- BT mesurable. Un 10 ite la fonction aléatoire