Nombres Entiers Et Pgcd

NOMBRES ENTIERS ET PGCD l. DIVISEUR D’UN ENTIER NA UREL a) Définition Si on a deux entiers naturels a et d non nuls, alors : d est un diviseur de a si et seulement si il existe un entier k tel que xk Ainsi, k est aussi diviseur de a. En clair : 4 est-il un diviseur de 12 ? 12 4×3, donc 4 est bien un diviseur de 12. b) Remarques Pour tout nombre en On en conclut que 1 entier naturel. Et tou entier naturel est un or 4 Sni* to View orr,. rte quel nombre 1 et 12 sont donc diviseurs de 12. c) Vocabulaire important 2 est un diviseur de 6 6 a pour divlseur 2 6 est divisible par 2 Il.

DIVISEURS COMMUNS ET PGCD a) Définitions Un diviseur commun à deux entiers naturels a et b, est un entier naturel qui divise à la fois a et b. entiers naturels. Le plus grand entier qui divise à la fois et b est appelé : Plus grand commun diviseur de a et b. Il est noté PGCD (a ; b) On reprend l’exemple précédent, les diviseurs communs à 15 et 40 sont 1 et 5 donc le plus grand est 5, test le PGCD (15 ; = 5 propriété La somme ainsi que la différence de deux multiples d’un même nombre entier sont euxmêmes multiples de cet entier. Prenons deux multiples de 3: 15 et 24

Si on en fait la somme : 1 5+24 39 Or 39 est aussi un multiple de Si on en fait la différence : 24-15 9 c’est aussi un multiple de 3. b) Méthodes de calcul du PGCD 1 ère méthode C’est la technique que nous avons utilisé juste avant, soit d’écrire tous les diviseurs communs puis de déterminer lequel est le plus grand. Cette méthode n’est pas viable pour les nombres complexes. 2ème méthode C’est l’algorithme d’Euclide. Il faut que a > b On fait la division euclidienne de a par b. On obtient le reste r Si alors le PGCD est b si O alors on fait la divi on fait la division de b par r

On continue de même jusqu’à obtenir un reste nul. Le PGCD est alors le dernier reste non nul pour trouver le PGCD de 759 et 552 : Ill. NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX Définition Deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1. On a vu que : PGCD (15 ; 40) 5 donc 15 et 40 ne sont pas premiers entre eux. IV. FRACTION IRREDUCTIBLE Une fraction est irréductible si son numérateur et sont dénominateur sont premiers entre eux. 4/15 est irréductible car 4 et 15 sont premiers entre eux. Propriété pour rendre une fraction irréductible on divise son numérateur et son dénominateur par eur PGCD.

Pour rendre la fraction 759/552 irréductible, on a vu plus tôt que le PGCD de 759 et 552 est égal ? 69. Il suffit donc de divlser le numérateur et le dénominateur de la fraction par 69. Du coup, on obtient 11/8. V. LES NOMBRES Propriétés : nombres entiers positifs. {O ; 1 ; 3 L’ensemble des nombres entiers relatifs noté Z est l’ensemble de tous les nombres entiers positifs et négatifs : { … -3 L’ensemble des nombres décimaux noté D est rensemble de tous les nombres, positifs et négatifs, qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction décimale, leur dénominateur est 1 ; 10 ; 100 ; 1000…

L’ensemble des nombres rationnels noté Q est rensemble de tous les nombres, positifs et négatlfs, pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction. L’ensemble des nombres irrationnels est l’ensemble de tous les nombres, positifs et négatifs, qui ne sont pas rationnels c’est à dire dont on ne peut avoir que des valeurs approchées et qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction : { n ; 4/3 est un nombre rationnel. 2; Remarques Tous les nombres entiers naturels sont aussi des nombres entiers relatifs. Tous les nombres entiers relatifs sont des décimaux. Tous les nombres décimaux sont des rationnels.