Limite Et Continuit

[http://mp. cpgedupuydelome. fr] édité le 1er septembre 2014 Enoncés Limite et continuité Généralités sur les fonctions Exercice 1 [ 01779 ] [correction] Soit f : R R telle que f 0 f est croissante tandis que f f 0 f est strictement décroissante. Montrer que f est strictement décroissante. f (x) = ln or27 Sni* to View Exercice 3 [ 01783 ] [correction] Soit f : [O, 1] [O, 1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe. Exercice 4 [ 00501 ] [correction] Soit f une fonction croissante de [O, 1] dans [O, 1]. ) Montrer que s’il existe x c [0, 1] et k N tels que f k (x) — x est un point fixe pour f . ) Montrer que f admet un point fixe. Calcul de limites Exercice 5 [ 01784 ] [correction] Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent : x alors parité de la fonction f définie par x cos ex x. +03X2+1 x + arctan x d) lim a) lim x. sin b) lim x 11x 1 lx c) lim x2 1,1x Propriétés des limites Exercice 8 [ 01789 ] [correction] a) Soit g : R R une fonction périodique convergeant en Montrer que g est constante. b) Soient f, g : R R telles que f converge en +9*, g périodique et f croissante.

Montrer que g est constante. Exercice g [ 01788 [correction Soit f : R R une fonction PAGF (avec T > O) telle que lim f Exercice 13 [ 01795 [correction] Solt f : R R définie par 2 Exercice 20 [ 01806 ] [correction] Soit f : R R continue et décroissante. Montrer que f admet un unique point fixe. 1 six EQ 0 sinon Montrer que f est totalement discontinue. Exercice 21 [01807 ] [correction] Soit f : [0 , R continue, positive et telle que Exercice 14 [ 01796 ] [correction] Solt f : R+ R une fonction telle que x f (x) est crolssante et x Montrer que f est continue.

Exercice 15 [ 01797 ] [correction] Soientf:l— Retg: R deux fonctions continues. Montrer que sup(f, g) est ontinue sur PAGF 3 OF Montrer que R continue. On suppose que If I ou f — — Exercice 17 [ 01803 ] [correction] Soit f : R R continue telle que lim f- -1 et lim f- 1. Montrer que f s’annule. Exercice 18 [ 01800 [correction] Soit f : [O, 1] [0, 1] continue. Montrer que f admet un point fixe. Exercice 25 [ 01802 ] [correction] Soient f : [a, b] R continue et p, q e R+ .

Montrer qu’il existe c E [a, b] tel que p. f (a) + q. f (b) = (p + q). f (c) Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement – dD [http://mp. cpgedupuydelome. frl édité le 1er septembre 2014 Énoncés Exercice 32 [ 01810 ] [correction] Soient f, g : [a, b] R continues telles que Exercice 26 [ 01805 [correction oit f : [0, l] R continue [correction] Notre objectif dans cet exercice est d’établir la proposition : Toute fonction f : R continue et injective est strictement monotone.

Pour cela on raisonne par l’absurde et on suppose : 3(x1 < yl etf(xl) f (yl ) et Ë(x2 , y2 ) el 2, x2 < y2 et f 1x2 ) Montrer que la fonction cb : [O, 1] R définie par - t)X1 + -t)Y1 +tY2) s'annule. Conclure. Exercice 29 [ 03350 [correction] Montrer la surjectivité de l'application z ec z expa EC Théorème des bornes atteintes Exercice 30 [ 01813 ] [correction] Montrer qu'une fonction continue et périodique définie sur R est bornée. Exercice 31 [01812 ] [correction] Soient f : R R bornée et g : R R continue. Montrer que go fet f n g sont bornées. limf lim f = Montrer que f admet un minimum absolu.

Exercice 34 [ 01815 [correction Soit f : R R continue. On PAGF s OF chaque y E R admet au lmf Exercice 36 [ 03722 ] [correction] Solt f : [a, b] R continue vérifiant f (a) = f Montrer qu’il existe a > 0 tel que Bljection continue 4 Exercice 42 [ 01791 ] [correction] Soit f : R R une fonction continue en O et en 1 telle que Exercice 37 [ 0181 6 ] [correction] Soit f : R R définie par vx e R, f (x) = f(x2) + 1×1 Montrer que f est constante. ) Montrer que f réallse une bijectlon de R vers 1—1, 1 b) Déterminer, pour y e 1 [ une expression de f — analogue à celle de f (x).

Exercice 43 [ 00244 [correction Soit f : R R continue tell PAGF OF fonction continue et prenant la valeur 1 en O. On suppose que Vx e R, f (2x) f (x) cos x b Déterminer f . b) Si a = l/e, déterminer deux fonctions linéairement indépendantes vérifiant la relation précédente. Exercice 45 [01798 ] [correction] Soit f : R R continue telle que Exercice 40 [ 03401 ] [correction] [O, continue vérifiant Soit f [0, f -f -Id a) Calculer f (O) et montrer que pour tout x E R. —f b) Justifier que pour tout n EZ et tout XE R, f(nx) = nf (x). ) Établir que pour tout r e Q, f (r) = ar avec a f (1 d) Conclure que pour tout x ER, f (x) = ax. Continuité et équation fonctionnelle Exercice 41 [01790 ] [correction] Solt f : R R continue en O telle que Montrer que f est une fonction constante. Exercice 46 [ 00243 [correction Soit f : R R telle que pou PAGF 7 OF On cherche les fonctions f : R R continues telles que Exercice 51 [ 01814 [correction] Soient f, g : [O, 1] R continue. On pose o(t) sup (f (x) + tg(x)) Montrer que cb est bien définie sur R et qu’elle y est lipschitzienne. ) On suppose f solution et f (O) = f (1) = O.

Montrer que f est périodique et que En déduire que f est nulle. b) Déterminer toutes les fonctions f solutions. Exercice 48 [ 03721 ] [correction] Soit f : R R une fonction continue telle que x+Y BOF 1er septembre 2014 Corrections et (bri ) vérifiant Exercice 1 : [énoncé] Soientx

Les deux questions de cet oral ne semblent pas être liées. Exercice 3 : [énoncé] (x e [O, 1] ‘f (x) x} est non vide (O y appartient) et est majoré (par On peut donc poser a = sup {x e [O, 1] If (x) x}. pour tout x on a f (x) x donc f (a) f (x) < x. Puisque f (a) x pour tout x > a, on a aussi f (a) a. pour tout x < a, il existe t a] tel que f (t) t donc f (a) f (t) t Puisque ceci vaut pour tout x < a, on a aussi f (a) a. Finalement f (a) = a. On peut aussi procéder par dichotomie. Exercice 5 : [énoncé] a) Quand x O, 1+x— I—x