le sujet

Baccalauréat S – Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 – Corrigé E XERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Aucune justification n’était demandée dans cet exercice. 1. Réponse b. : 4ei1T Le nombre 1 +iapo 4 plexe 2 e 44=4ei or 11 Sni* to View 2 e i 4 donc le nombre (1 + i)4a pour criture comn 2. Réponse c. :cx- +(Y+ Si on appelle A le nombre d’affixe 1 -i, l’équation Iz 3 —i, ou encore Iz—zA 12 2 centrée réduite, alors pour tout réel a appartenant à l’intervalle IO ; IL il existe un unique réel strictement positif xa tel que p —xa X xa=l — a.

Soit f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels R par f Soit H la fonction définie et dérivable sur [O ; par H (x) = P (-x 211 x 1 . La fonction f représente la fonction de densité de probabilité pour la loi normale centrée réduite. f (t ) dt = 0 ; et d’après le cours lim H (x) – 1 PAG » 1 )dt-2 f (t) dt f (t ) dt a pour dérivée la fonction f ; donc la fonction H définie f (t ) dt a pour dérivée la fonction 2f . e —2>0 sur R ; comme H’ =2f, H (x) > O pour tout réel x, et donc la fonction H est strictement croissante sur [O ; On établit le tableau de ariations de H sur [O ; : 5.

En prenant a dans l’intervalle 1[, on a aussi I—a dans l’intervalle 1 ( ; on complète le tableau de variations de H : PAGF30F11 choisie au hasard présente un défaut ; la probabilité qu’elle vienne de l’entreprise A est P (A n D) p (A)xP A(D) x 0,046 PD (A) = 0,552 0,05 2. D’après la formule des probabilités totales : P D) + p (Bn D) 0,05 = x p (B n D) 0,05 – = P (B n D) Donc p (B n D) = 00224. Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Baccalauréat S 3. Parmi les pipettes venant de l’entreprise B, la probabilité qu’une pipette présente un défaut est

PB or -0,6 0,4. P (B n D) 0,0224 0,056. PB (D) = Parmi les pipettes venant d 1 3, le pourcentage de pipettes de taille n, où n est un entier naturel supérieur ou égal à 100 et on suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants. Soit Yn la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille n associe le nombre de pipettes non-conformes de l’échantillon. a. Comme on peut supposer que les tirages sont indépendants, la variable aléatoire Yn suit une loi binomiale de paramètres n 100 et p 0,05. . On sait que n 100 donc n n 100 et p = 0,05 donc np 30. 100 x 0,05 p = 0,05 donc 1 -p ; -p) Les trois conditions sont vérifiées. 100 x 0,95 95 et donc n(l — p) c. Pour une proportion p et un échantillon de taille n, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est • s 1 1. D’après le cours, on sait que lim x ln(x) O donc lim f (x) O lim x = lim ln(x) lim x ln(x) – (par produit) donc lim f (x) — 4 2. La fonction f est dérivable sur JO ; +4 comme produit de fonctions dérivables : x ln(x) + xx = ln(x) + 3.

On étudie le signe de fi (x sur O : ln(x) 1 1 ln(x) > bleu) ; cette somme majore l’aire sous la courbe. b. On fait tourner l’algorithme ci-dessus : Variables IJ 0,069 8 0,069 7 0,221 8 PAGF70F11 x ln(x) + x ln(x) + _ 22 x ln(x) f (x) Donc F est une primitive de f sur IO ; + [ 2. La fonction f est croissante sur [1 fonction f est positive sur [1 ; 2] ; on peut donc dire que A = = O donc la – 21n(2) – E XERCICE 4 (21n(2) – 1) B1 au plan (ABC), le point J n’appartient pas au plan (ABC). Donc les quatre points A, B, et J ne sont pas coplanaires. 2.

Le plan médiateur (P 1 ) du segment [AB] est le plan erpendlculaire à [AB] passant par le milieu P de [AB] ; c’est donc l’ensemble des points M de l’espace tels que les vecteurs AB et PM soient orthogonaux. Dans le repère A ; AP , AQ , AE , A a pour coordonnées (O ; O ; O) et Ba pour coordonnées (2 ; O ; O), donc AB a pour coordonnées (2 ; O ; O). Le point M a pour coordonnées (x ; y ; z) et le point P a pour coordonnées (1; 0; O), donc PM a pour coordonnées (x —1 ; Y ; z). AB et PM sont orthogonaux si et seulement si AB . PM x-l=o Le plan (P I ) a pour équat PAGF 11 le point D a pour coordonnées (O ; 3 ; O).

AC = AD + DC = AD + AB ; or AB a pour coordonnées (2 ; O ; O) donc AC a pour coordonnées (2 ; 3 ; O). Ce sont aussi les coordonnées du point C. 0+2 3+3 0+0 Le point I est le milieu de [CD] donc le point I a pour coordonnées soit(l ; 3 ; 0). On calcule de même les coordonnées du point J, milieu de [EF], et on trouve (1 ; O ; 1) Un point M de coordonnées (x; y; z) appartient au plan médiateur de [IJ] si et seulement si IM = JM autrement dit IM2 = JM2 . IM2 +(y- z2;JM2 = (x – +Y2 (z- IM2 = JM2 (x-1)2 -3)2 = (x-l)2 2 -6y +9+z2 -y 2 +7 2 -2z+1 11