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On dira alors que f est dér- 2 f(a) a+h Exemple Considérons le point A d’abscisse 1 de la parabole représentant fonction carré f(x) = x2 . Si on considère un point M sur la courbe, proche du point A l’abscisse de M peut s’écrire sous la forme 1 + h (avec h « petit ») . L’ordonnée du point M est alors (1 + h)2 . Le coefficient de la droite (AM) est + h) + h)2- 12=1 2h+h2-1 = h) On peut remarquer que lorsque h tend vers O , ce coefficient directeur tend vers 2. On a donc lim f(l + h) – (1) = 2 La fonction carré est donc dérivable en 1 et f'(l) = 2.

Si on agrandit la parabole représentant la fonction carré au niveau u point A d’abscisse 1, on po , er que la courbe est utilisant le logiciel GeoGebra, tracer la courbe (C), la droite d et placer le point A. En faisant un zoom centré sur A, vérifier que la courbe (C) et la droite d sont quasiment confondues au niveau du point A. Exercice 06 On considère la fonction inverse f définie par f(x) = 1 1 a ) Déterminer les coordonnées du point A d’abscisse 1 de la courbe (C) représentant la fonction f. 20) Calculerf(l + h) et en déduire que f(l + h) – f(l) – 30) Justifier que la fonction f est dérivable en 1 et donner la valeur de NI). ) Démontrer que la droite d passant par A et de coefficient directeur -1 a pour équation y -x + 2. 50) En utilisant le logiciel GeoGebra, tracer la courbe (C), la droite d et placer le point A. page 2/ 11 Exercice 07 s 2 la valeur de f'(-2). Définition – Propriété (voir démonstration 01) Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a e Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. La droite T passant par ; f(a)) et de coefficient directeur f'(a) appelée tangente à (C) en A. Cette tangente T a pour équation : y = f'(a) (x – a) + f(a) .

Cas particulier Si f'(a) = O, T est parallèle à l’axe des abscisses (horizontale). Exercice 09 On donne ci-contre la courbe représentative dune fonction f et quelques-unes de ses tangentes. Donner en utilisant ce graphique les valeurs de : 6 2 Dérivée page 3 / 1 1 Exercice 1 1 Tracer la courbe d’une fonction f vérifiant 2 Exercice 12 f(5) 21 Soit f définie sur [O ; par : f(x) – x 1 a) Montrer que h) – f(3) = 3 En déduire, en utilisant la définition, que f est dérivable en 3 et donner la valeur de f(3). 20) Soit a e [0 ; +m[. tudier la dérivabilité de f en a et donner, s’il existe, le nombre dérivé d éponses et correction) On considère la fonction définie sur IR parf(x) = x2 -4 . 10) Donner, suivant les valeurs de x, le signe de x2 – 4. 20) En déduire, suivant les valeurs de x, une expression de f(x) n’utilisant pas la valeur absolue. 30) Tracer la représentation graphique de f. 40) En utilisant GeoGebra : a) Tracer la courbe représentative de f et vérifier la courbe tracée à la question précédente. Avec GeoGebra l’expression de f(x) s’écrit abs(xA2 – 4) b) Définir un curseur a. c) Tracer la tangente T à la courbe au point d’abscisse a.

Pour cela on pourra écrire dans le champ de saisie : T=tangente[a,f] d) Déplacer le curseur a et constater le déplacement de la tangente. Quelle est l’équation de la tangente lorsque a prend la valeur 1 ? lorsque a prend la valeur 2 ? 50) Étudier la dérivabilité de f en 1 et en 2 et comparer avec les résultats de la question précédente. Exercice 16 Soit f définie sur IR par x3 – 2×2 +2 | 0) Tracer la courbe en utilisant GeoGebra. 20) Placer sur la courbe le point A d’abscisse 1 Définir un curseur m allant de -IO à 10 par pas de 0,5 et tracer la droite d passant par A et de coefficient directeur m.

On pourra po dans le champ de saisie la d=dr01te[A,A+(1,m)] En faisant varier m, vérifier que la valeur m = -1 correspond à la tangente à la courbe au point A. 30) En utilisant la méthode précédente et en déplaçant le point A, compléter le tableau • abscisse du point A : x coefficient directeur de la tangente f'(x) m 40) Dans le champ de saisie de GeoGebra écrire l’expression P(x) Vérifier, dans la fenêtre d’algèbre, que l’expression de f(x) est 3×2 En utilisant cette expression, calculer f(2) ; f(l) ; NO) et f'(-l ) et vérifier les valeurs du 30). age 4 / 1 1 Fonction dérivée – Opérations Si une fonction f est dérivable en tout x d’un intervalle l, on dit ue f est dérivable sur L’application qui à tout x de associe le nombre dérivé de fen x est appelée fonction dérivée de f. La fonction dérivée de f est notée f’. fonction dérivée est la fonction f’ définie par f(x) = 2x.

Considérons la fonction racine carrée f , définie sur par f(x) On peut justifier (exercice 12) que pour tout a 0, f est dérivable en a et que fla) = 1 La fonction racine carrée est donc dérivable sur IO ; et sa fonction dérivée est la fonction f’ définie par : f(x) = 1 Exercice 17 On considère les fonctions f, g, t définies sur IR par : f(x) = k, k E IR (x) = mx+p, me IR et p e IR En utilisant la définition, démontrer que ces fonctions sont dérivables sur IR et donner pour chacune d’elles sa fonction dérivée.