Geometrie Chemla

Anne HOFF MADELHIS Année 1, semestre I Année scolaire 2014-2015 0902 : GEOMETRIE PROJECTIVE Karine Chemla, Lazare Carnot et la généralité en géométrie. Variations sur le théoreme dit de Menelaus SOMMAIRE : Introduction.. I. La généralité selon orq2 Sni* to View 1 . La lettre à Bossut ou éléments de réflexion sur la généralité en matière d’assertion et de figure………. — 4 2. La théorie des transversales… 6 3. 1_a généralité de la démonstration. Il. Comment les travaux de Carnot ont-ils été reçu par Poncelet et Chasles . ituations géométriques…. … . 19 ‘uniformité des 2. L’uniformité des démonstrations……… 22 Conclusion…. 24 BI BLIOGRAPHIE… 25 2 Introduction A la fin du XVIIIème et au début XIXème siècle, nombre de mathématiciens se trouvent ennuyés par une sorte d’état d’inconfort provoqué par une augmentation désordonnée de connaissances dans le domaine géométrique. Afin d’y remettre un peu d’ordre, on assiste à un développement d’une géométrie dite analytique dont les principes généraux permettent la résolution de nombreux problèmes posés.

Cette géométrie analytique offre une puissance de résolution bien plus effica étrie pure. Il s’agit alors PAGF 2 ien décidés à redorer cette géométrie. Le texte qui nous Intéresse ici fait référence à l’un de ces nouveaux concepts introduit au 19ème siècle par Lazare Carnot. En effet l’un des avantages de la géométrie analytique est sa capacité ? la généralité. Il s’agit donc pour lui d’essayer d’introduire cette même généralité dans la géométrie pure.

Le texte qui nous intéresse ici développe cette idée de généralité chez Carnot. Il s’agit d’un texte s’intitulant : Lazare Carnot et la généralité en géométrie. Variations sur le théorème dit de Menelaus. Il a été publié en 1998 par une mathématicienne rançaise, spécialiste de l’histoire des mathématiques, Karine Chemla, dans la revue d’histoire des mathématiques. Dans ce texte, l’auteur s’appuie sur l’exemple d’un théorème, le théorème de Menelaus, pour étayer son discours autour de l’usage de la généralité chez Lazare Carnot.

Nous examinerons à travers ce texte la façon dont les travaux de Carnot ont pu être pour Poncelet et Chasles une contribution à la résolution du problème de généralité. Pour cela, nous étudierons une partie des travaux de ces trois mathématiciens en nous plaçant sous l’angle de la généralité. Nous verrons également quelles onséquences ces travaux ont pu avoir sur la géométrie pure par la volonté de lui donner les mêmes atouts que la géométrie analytique. l.

La généralité selon Carnot 1. La lettre à Bossut ou él PAGF 3 9 exion sur la eénéralité en la fin de ce traité figure une lettre de Lazare Carnot, mathématicien et géomètre, dont l’objectif est d’exposer ? Bossut : « quelques propriétés des triangles et des polygones en général, non encore connues » que Carnot pense « susceptibles de trouver place dans un traité élémentaire de géométrie Il s’agit ici, comme le souligne K. Chemla, du premier texte de éométrie publié par Carnot.

Nous allons voir qu’un des objets de cette lettre est de proposer des éléments de réflexion sur la généralité en matière d’assertions et de figures. Il s’agit en effet de s’approcher des bénéfices de la géométrie analytique en généralisant le cadre de la géométrie des anciens. Pour ce faire, Carnot propose de s’éloigner de la figure particulière et des assertions la concernant afin de proposer des relations valables pour un plus grand nombre de configurations.

Ainsi, dans ce texte, Carnot expose le théorème suivant (que nous noterons théorème comme Carnot p404 de la lettre à Bossut) : ? les trois côtés d’un triangle quelconque (ABC) étant prolongés indéfiniment, si l’on mène une transversale indéfinie(FG) qui les coupe tous trois (aux points ED,G), il résultera de cette construction sur chacun des côtés du triangle deux segments : (savoir, pour le côté AB, les segments AF, BF ; pour le côté AC, les segments AD, CD ; et pour le côté BC, les segments BG,CG).

Or de ces six segments le produit formé de trois d’entre eux comme facteurs est égal au produit formé des trois autres, en prenant ces facteurs de manière qu’il n’en entre pas deux dans le même produit qui aient pour extrémités un même le, ou un même point PAGF 9 même angle du triangle, ou un même point de la transversale (c’est ? dire que l’on a AF. CD. BG=BG. AD.

CG ; où l’on voit qu’aucune des qui forment les angles du triangle et les intersections des côtés avec la transversale n’entre deux fois dans le même produit) Il souligne : « il est clair que ce théorème n’est autre chose que la traduction en langage ordinaire des équations trouvées n03 » Ces équations correspondent à 4 relations établies à partir d’un quadrilatère BCDF dont on a indéfiniment prolongé les côtés et auxquels on a associé les points AG d’intersection de ces ôtés indéfiniment prolongés. ( et qui correspondent comme l’indique K. Chemla à « autant de versions du théoreme aujourd’hui dit de Menelaus. ?) « pour mettre ces équations sous la forme d’un théorème dont l’application soit facile, il faut considérer qu’après avoir prolongé indéfiniment les côtés du quadrilatère quelconque BCDF, on peut le regarder comme un triangle ABC, dont les côtés sont indéfiniment prolongés et coupés par une transversale commune FG… » (p404) Ainsi, la même figure offre plusieurs configurations possibles. De fait, une figure peut être considérée comme une figure ifférente à condition, par exemple, de prolonger ses côtés et de considérer les points d’intersection de ceux-ci ainsi prolongés.

De cette façon, la configuration initiale devient exploitable sous un autre angle, offrant de nouvelle PAGF s 9 unique théorème les 4 équations trouvées précédemment. De cette façon, en optant pour une nouvelle configuration pour décrire la même situation de départ, Carnot parvient à en simplifier et à en clarifier l’énoncé ;et trouver le bon énoncé permet de traiter le maximum de cas. La forme d’une assertion peut donc permettre de lui donner un aractère général.

Cest ainsi qu’on assiste avec Carnot au passage du dessin comme figure, au dessin comme configuration. « Le théorème ne porte plus sur un quadrilatère, mais sur la rencontre d’un triangle et d’une droite, quelle que soit la manière dont celle-ci se produit. Il n’énonce plus une propriété d’une figure, mais prend des sens différents en fonction de la configuration particulière à laquelle il sera appliqué. »(K. Chemla) Pour illustrer ce propos, outre l’exemple du quadrilatère donné dans son texte par K. Chemla (annexe 22, pl 73) on peut citer celui du polygone donné par

Carnot, toujours dans sa lettre ? Bossut : « il résulte de toute cette théorie sur les quantités linéaires, considérées seules et sans l’intervention des quantités angulaires, que si sur un plan donné sont placés des points en nombre quelconque, qu’on joigne deux à deux tous ces points, et qu’on mène les diagonales des diverses figures qu’elles forment, il en résultera une multitude de rapport qui tous pourront être exprimés par des équations à deux termes ; lesquels termes auront les uns deux facteurs seul res trois, les autres 9 y aura un nombre de données suffisant pour que tout le reste soit déterminé.

Les bornes de cet écrit ne me permettent pas de m’arrêter sur les consequences particulières que fournit cette théorie. » (p411) Dans cet exemple encore, s’amorce la question de l’importance du choix d’une figure générale par opposition à la multitude de dessins particuliers. Ainsi, si la géométrie des anciens lie de façon rigoureuse les démonstrations aux considérations d’une figure particulière, Carnot se démarque de cette position en proposant d’étudier une configuration plutôt qu’une figure.

En 1803, Carnot publie un ouvrage relatif à la géométrie et intitulé Géométrie de position. Dans et ouvrage l’objectif de Carnot est d’établir des propriétés concernant les positions relatives entre les différents éléments d’une figure et en particulier de parvenir à s’affranchir de ces positions relatives. On en trouve une explication dans la partie préliminaire de cet ouvrage. ? géométrie de position une théorie dont l’objet spécial est d’exprimer en effet, par des tableaux comparatifs, dans des figures de même genre, la diversité de positions de leurs parties correspondantes, après avoir préalablement formé le tableau général de leurs propriétés communes… » (Carnot, géométrie de position, En ce sens, la géométrie de position proposée par Carnot se rapproche de la géométrie analytique dont une partie de la supériorite est due à l’affranchissement des figures.

Nous allons voir que sa théorie des transversales vise le même objectif de supériorité. PAGF 7 9 Carnot explore un autre moyen de se rapprocher de la puissance de l’analyse en exposant son principe de corrélation des figures. Dans ce cas, il s’agit de pouvoir étendre l’ensemble des résultats liés à une figure particulière à un ensemble de figures corrélatives. Carnot se pose alors la question des modalités de transport des ésultats d’un état à l’autre d’une figure.

Cest ainsi que dans La corrélation des figures (1801) son objectif est de « rapporter chaque figure dont on recherche les propriétés à une autre figure dont les propriétés sont connues ; puis [… ]on exprime les modifications qui les distinguent : c’est ce que j’appelle établir la corrélation des figures. » De fait, pour Carnot, la corrélation est une correspondance terme à terme entre les éléments d’une figure. Lorsque deux figures sont liées par une relation de corrélation, chacun des éléments significatifs d’une figure correspond à un élément significatif de ‘autre figure.

Dans ce contexte il introduit les termes de système primitif c’est ? dire un état particulier d’une figure. Il peut alors transformer ce système primitif par « degrés insensibles » et observer ainsi les systèmes transformés. Ces derniers pourront être en corrélation directe avec le système prlmltlf, (c’est à dire que les relations d’ordre entre les longueurs se conservent), ou en corrélation indirecte (c’est à dire que les relations d’ordre entre les longueurs s’inversent).

Certaines formules trouvées sont directement applicables, les formules explicites, d’autr PAGF E 9 s’appliquera pas directement à une igure mais à une figure corrélative). Ainsi en disposant d’une formule explicite pour un système prlmltif, il trouve la formule explicite pour le système transformé en changeant le signe des expressions calculées en fonction des quantités qui se trouvent en ordre inverse dans le système transformé. ? pour découvrir les mutations qui doivent en effet avoir lieu pour tel ou tel système corrélatif, je le regarde comme né du système primitif, en vertu d’une transformation opérée par degrés insensibles, qui ne change rien aux bases générales de la première construction, mais qui modifie seulement les positions espectives, en faisant passer au-dessus ce qui étoit au dessous, ou à droite ce qui étoit ? gauche. [… ]Or c’est de là [… que naît le principe général de la mutation des s’gnes, qui doit avoir lieu dans les formules du système primitif, pour qu’elles deviennent applicables au système transformé ou corrélatif. » (Carnot 1803) Toutefois, dans ces conditions, pour la démonstration du théorème 1 que nous détaillerons dans la partie suivante, on peut s’interroger sur le fait que Carnot ne tient pas compte des différentes positions possible de la droite par rapport au triangle. ? il se présente importante à faire sur la comparaison de deux systèmes corrélatifs, ayant chacun sa formule propre ou explicite, c’est d’en trouver une troisième qui les renferme l’une et l’autre, ou qui soit directement applicable au explicites pour tous les états du système variable de quantités. Le théorème 1 fait partie de cette catégorie d’énoncés et c’est pourquoi il est applicable immédlatement. Néanmoins, la formulation de ce théorème en terme de transversale, comme on l’a vu dans la première partie, apparaît plus cohérente dans le cadre de l’étude des corrélations de figures.

Cette configuration (celle du triangle coupé par une transversale) est en effet plus naturelle que les différentes figures d’un quadrilatère simple. De plus, après avoir cherché à résoudre des problèmes généraux grâce aux transversales, Carnot vise en 1806 un nouvel objectif : « la théorie des transversales est curieuse par elle-même, et fournit souvent des démonstrations et des solutions très élégantes, dans des questions compliquées. La simplicité et la fécondité de ses principes sembleraient lui donner le droit d’être admise dans les éléments ordinaires de Géométrie. »

Alnsl, l’importance de l’Essai sur la théorie des transversales réside ici dans le fait de présenter les propriétés d’incidence comme fondamentales pour la géométrie. Après avoir montré que le théorème de la transversale d’un triangle se généralise à diverses classes de polygone, Carnot envisage une application possible pour la configuration composée d’un triangle et d’un système de transversales issues d’un même point. De la même façon, Carnot montre que ce théorème va pouvoir être étendu : -aux polygones plans coupés par une transversale -aux assemblages de droites -aux polveones gauches