Fonctions Usuelles

[http://mp. cpgedupuydelome. fr] édité le 16 novembre 2014 Enoncés Fonctions usuelles Exercice 6 [01831 ] [ correction] Montrer que le nombre de chiffres dans l’écriture décimale d’un entier n > O est log10n+ 1. Radicaux Exercice 7 [ 03626] [ (Lemme de Gibbs] a) Justifier Vx > O, ln x or 18 Sni* to View Exercice 1 [ 01832 ] [correction] a) Etablir que pour tout x, y ER+ , y —x b) Ce résultat est-il encore vrai en terme de racine cubique ? x-l b) Soient (pl , , pn ) et (ql , réels strictement positifs vérifiant , qn ) des n-uplets formés de Exercice 5 [ 01830 ] [correction]

Soit O < a b. On pose f : x — ln a+b 2 Exercice 10 Comparer [01835] b) ab ac = abc e) (ab )c = a(b } c) a2b = (ab f) (ab (ac )b ? [correction] lim+ ln(l +ax) ln(l +bx) ln xl/x. 18 b) ex e2y = a Exercice 20 Linéariser 2xy 1 [01843] a) cos2 x d) cos a cos b 24 b) cos x sin2 x - x)l-x e) cos a cos b cos c c) cos2 x sin2 x Exercice 21 [ 01844 [correction] Ecrire sous la forme A cos(x — cb) les expressions suivantes : a) cos x + sin x b) cos x -3 TL/3) sin(x + 311/4) c) sin x + sin•/3x = o v/ e) 3 cos x — 3 sin x = 6 4 b) cos x + sinx=l d) sin x + sin 2x + *Isin 3x = O f) 2 sin x. s x + 3 cos 2x = O Exercice 25 [ 01848 ] [correction] Résoudre l'équation tan x tan 1 Exercice 26 Calculer [ 02645 ] c) f : x arccos + cos x arccos(cos 2x) 1 — cos x arcsin(sin x) + arctan 8 arcsin(sin x) + arccos(cos x) Exercice 29 Simplifier Exercice 31 [01853 ] [correction] Déterminer lim arccos(l—x) à l'aide d'un changement de variable judicieux. Exercice 24 [ 01847 ] [correction] Résoudre les équations suivantes d'inconnues x R. +X2 + arcsin 13 c) arccos x arcsin 2x e) arcsin = arctan x b) arcsin tan x = x PAGF s 8 arctan(p + 1) — arctan(p) th((n + l)x) — th(nx) Etudier la limite de la suite (Sn ) de terme général Sn = Sn (x) = Exercice 38 [ 02814 ] [correction] Soient xl , , XI 3 des réels. Montrer qu'il existe i et j dans 13} tels que i = jet xi — xj 6 8 uniquement - dD Corrections Exercice 5 : [énoncé] f (x) = (1 bx) ln(1+bx)2 avec g(x) = a(l + bx) ln(l + bx)— b(l + ax) ln(l + ax). (O) = O et g (x) = ab ln 1 O donc g est positive et par suite f croissante. fa ce qul donne Pinégalité voulue. b a donc f b Exercice 1 : [énoncé] a) Quitte à échanger, on peut supposer y x. Par élévation au carré, l'inégalité demandée équivaut à y - 2 + Or y x donc xy x puis y — 2 xy + xy — x ce qui permet de conclure. b) Quitte à échanger, on peut encore supposer y x. Par élévation au cube, l'inégalité demandée équivaut ? y-33Y2x+33yx2-xy PAGF 7 8 ln x — x + 1 assure l'inégalité écrite.

De plus on observe qu’il y a égalité si, et seulement si, x = 1 b) On étudie la différence qi pi Exercice 3 : [énoncé] a) Posons f : R définie par f (x) —x — ln(l x). f est dérivable, f (O) = Oet f (x) = 1 x Le tableau de variation de f donne f positive. b) D’une part = en ln(l+ n ) enx n et d’autre part e—n ln(l— n) e 8 exp(exp(x ln x) ln x) (xx )x= exp(x In xx) = exp(x2 ln x) c) lim+ x Exercice 15 : [énoncé] Il est clair que le triplet nul est solution de ce système.

Inversement, soit (a, b, c) solution. Posons x ea , y eh de sorte que ec e—(a+b) l/xy. On a donc O et xy Pour y > O fixé, étudions la fonction f:x x *y + l/xy. Cette fonction est dérivable et admet un minimum strict en x = 1/ y valant La fonction g est dérivable et admet un minimum strict en y = 1 valant g(l) = 3. On en déduit que 1 alors donc PAGF 18 est deux fois dérivable, g e variation et de signe de g puis de g. On conclut g positive.

Exercice 17 : [énoncé] a) cos(3a) = cos(2a + a) puis Exercice 14 : [énoncé] On a xx (1 -x)l-x exp$(x) cos Ba = 4 cos3 a – 3 cos a avec x ln x + (1 — x) ln(l — x) b) tan(a + b • c) = tan((a b) + c) puis La fonction est dérivable sur IO, et tan(a + b + c) (x) = ln On en déduit que d) est décroissante sur 1/2] puis croissante sur [1/2, 11 donc VX E 10, 0(1/2) = Ina 12) tan a + tan b + tan c — tan a tan b tan c — tan a tan b — tan b tanc — tan c tan a Exercice 18 : [énoncé] On sait cos 2a = 2 cos2 a— 1 donc