Exos 2010 Cor

VI- EXERCICES Exercices Transformée en Z et le filtrage numérique Le but de cette séquence est de savoir calculer des transformées en Z puis de mettre en application ces calculs sur quelques exemples de filtrage. Les notions nécessaires seront quelques notions de calcul sur les séries et la pratique du filtrage. 1 . Echantillonnage et l’interférence entre symboles. Soit un signal discret x(n). Considérons deux échantillons et x(l Ces échantill transmis sous la for 1 . Représentez e(t). b(t) – 5(t-T) or 35 Sni* to View Le signal est transmis sur un canal à bande limitée.

Nous onsidérons le canal comme un filtre linéaire stable dont la fonction de transfert est Le signal reçu est r(t). Canal : H(f) 2. Quelle est la réponse impulsionnelle du canal ? pl Temps T=I/B VI-I 5. Le signal reçu est échantillonné ; deux valeurs sont obtenues : r(O) et r(T). Qu’obtenez vous pour les valeurs de T précédemment choisies ? Commentez en introduisant les notions d’interférences entre symboles, de rapport signal à bruit et de taux d’erreurs binaires. (Remarque : on prendra si PAGF 5 à 1. Le canal n’a pas d’influence sur le signal transmis (il est « transparent 2.

Transformée en z. Déterminer les transformées en Z et sa région de convergence des signaux suivants: avec O c- x(k) -(a ) pour k z 3. Transformée en z. Trouvez une relation entre Y(z) et X(z). Vous devrez faire intervenir la dérivée de Y(z). Sachant que y (n ) – On sait que si y (k ) dX(z) 5 récursif ; on peut aussi le voir directement sur la réponse impulsionnelle) Causal (y(n) ne dépend que d’échantillons aux instants n et n-2). Stable (car RIF) (2) Y(Z) – ln . z-2X(Z)} GI xœ)l+z-2 (pour z différent de 0) 2 (3) On pose z=e2. j. n. GI (z) = = e -2. j . n . f . COS(2. 1T . f) ‘GI (f) 2 o. 75 0. 5 0. 25 -o. s -0. 4 -0. 3 -0. 2 -o. l PAGF s 5 pour avec a élément de 10,1 Déterminez la transformée en z de x(k) 2. Soit un filtre défini par la relation (le même a que pour la première question). Calculez la fonction de transfert de ce filtre. Discutez ses propriétés. 3. On filtre x(n) (question 1) par h(n) (question 2) et on obtient y(n). Déterminez la transformée en z, Y(z), de y(n). 1 -az -1 Eak. z-k . [0, -k- Existe si a/z < 1 donc si z > a. Il faut donc a < 1 pour que la TF existe. Filtre non récursif (car v(n) PAGF 6 5 aucun v(n-k)) réquences contenues dans ce siC4 Cl gnal ? 5. La fréquence d'échantillonnage est-elle suffisante ? 6. Que se passe-t-il quand on filtre x(n) par le filtre défini au départ ? (1) On applique la transformée en z à la relation de récurrence : On obtient alors : -1•a. z-4 (2) C'est un filtre linéaire, invariant dans le temps. Il est causal car la sortie (y(n)) ne dépend pas du futur de l'entrée (x(n+i)).

Il est non récursif car la sortie ne dépend que de l’entrée. VI-5 Il est donc à réponse impulsionnelle finie (h(n)=6(n)+6(n-4)) et stable (3) On remplace z par exp(2. j. n. f) H(f) = 1 + a. exp(-8. j. T. f) C’est un complexe. Nous allons donc représenter son module qui donne la représentation la plus significative. (1 + a_sin 1 +a2+ 2. a. cos(8. 1T. f) PAGF 7 5 d’échantillonnage, ici normalisée à 1. Nous pouvons noter de la sélectivité en fréquence pour f=1/8 et f=3/8. (4) Les fréquences présentent dans ce signal est 1/8. Je ne mets pas d’unité car je raisonne en fréquences normalisées, en fait fO/fe) ( donc fO=1 /8 et donc fO=1/4 (5) La fréquence d’échantillonnage est de 1 (fréquence normalisée ; sinon l’échantillon s’écrirait x(n. Te)). La fréquence maximale présente dans le signal est 1/4. La fréquence d’échantillonnage permet donc de bien vérifier le théorème de Péchantillonnage (fe > 2. fmax, c’est à dire 1 > (6) Le module de la fonction de transfert du filtre présente un minimum en 1/8. Le sera donc fortement atténué.

Le cas extrême est obtenu pour FI où le trajet réfléchi annulera complètement le Le passera par contre sans problème. 1. 5 I (pour a=o. 5) et X(f) VI-6 -0. 25 non. 1. le signal de parole, C’est un phénomène aléatoire (on a beau redire plusieurs fois la même chose, la « trajectoire » n’est jamais la même (les variations de la pression de l’air où du courant ?lectrique après l’intervention du micro sont définis à tout instant). Une étape d’échantillonnage est nécessaire pour le passer en temps discret et le traiter numériquement.

Il n’est pas stationnaire mais sera considéré au moins stationnaire du second ordre sur de courte période (typiquement 20 ms). 2. la trajectoire d’une fusée, Ce phénomène peut être considéré comme un signal déterministe. Sinon à chaque décollage on se demanderait où la fusée va aboutir. Il est à temps continu car à chaque instant la fusée est à une position donnée. 3. le bruit thermique dans un récepteur. C’est un phénomène aléatoire, à temps continu et stationnaire au moins au second ordre . a moyenne ne dépend pas du temps (il est centré) et vous pouvez mesurer sa densité spectrale de puissance, une fonction qui ne varie pas au cours du temps ce qui signifie que son autocorrélation ne dépend que d’un paramètre (T et pas t). 4. le nombre de personnes attendant un bus, C’est un phénomène aléatoire (il est fonction de paramètres imprévisibles). Il est à temps continu (à chaque Instant un certain nombre fonction de paramètres imprévisibles). Il est à temps continu (à chaque Instant un certain nombre de ersonnes attendent le bus) et à valeurs discrètes (le nombre de personnes attendant est un entier).

Il n’est pas stationnaire. Si je considère la moyenne du nombre de personne attendant, cette moyenne augmente quand l’heure du prochain bus approche, elle est plus importante le jour que la nuit. Elle dépend donc du temps. 8. Processus aléatoires. On relève toutes les deux minutes le nombre de voitures qui attendent au feu rouge en bas de la rue de Siam à Brest. On étudie le comportement du signal aléatoire ainsi obtenu sur 24 heures. Est-il à temps discret ou continu, à valeurs discrètes ou continues. Est-il stationnaire du second ordre ?

Je ne considère maintenant que les périodes où la circulation est très chargée. Le signal est-il stationnaire du second ordre ? Est-il centré ? C’est un signal aléatoire à temps discret et à valeurs discrètes. Il n’est pas stationnaire car son comportement change en fonction du moment de la journée (chargé aux heures de pointes, presque personne autrement). Si je ne prend en compte que les périodes chargées; il y a toujours un nombre important de voiture qui attendent quand je fais le relevé. De plus, si chaque jour il y a un léger déca