espaces prehilbertiens reels cours

Document créé le 8 février 2014 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre 19 Espaces préhilbertiens réels Sommaire 19. 1 Produit scalaire, norme et distance . 19. 1. 1 Produit scalaire sur un R espace vectoriel 19. 1. 2 Norme et distance associée . 19. 2 Orthogonalité . 19. 2. 1 Vecteurs orth 192. 2 Orthogonal d’ 19. 2. 3 Algorithme d’O 192. 4 Calculs dans u Sni* to View hmidt.. . 19. 3 Produit mixte, produit vectoriel.. . 19. 3. 1 Produit mixte dans un espace euclidien orienté 19. 3. 2 Produit vectoriel . 19.

Projections orthogonales 19. 4. 1 Supplémentaire orthogonal . 19. 4. 2 Projection orthogonale . 19. 43 Distance à un sous-espace 19. 5 Hyperplans affines d’un espace euclidien 19. 5. 1 Vecteur normal à un hyperplan d’un espace euclidien 19. 5. 2 Équations d’un hyperplan dans une base orthonormale . 19. 5. 3 Calcul de la distance à un hyperplan affine 19. 5. 4 Orientation d’un Swlpe to vlew next page d’un hyperplan par un vecteur normal 19. 6 Isométries vectorielles 19. 6. 1 Isométries vectorielles 19. 6. 2 Symétries vectorielles orthogonales 19. 7 Matrices orthogonales. . 9. . 1 Matrices orthogonales . 19. 7. 2 Matrices orthogonales positives ou négatives 19. 7. 3 Isométries positives, négatives . 19. 8 Isométries en dimension 2.. 19. 8. 1 Matrices orthogonales de taille 2 . 19. 8. 2 Angle de rotations et de vecteurs du plan . 198. 3 Classification des isométries d’un plan euclidien orienté 6 484 . . 484 . 485 486 . 487 . 488 489 . 489 . . 489 . 490 19. 1 Produit scalaire, norme et distance 19. 1 Chapitre 19 : Espaces préhilbertiens réels Produit scalaire, norme et distance Dans tout le chapltre, E désigne un espace vectoriel sur R. 19. 1. 1

Produit scalaire sur un R espace vectoriel Définition 19. 1. 1 (produit scalaire sur un R espace vectoriel) Soit E un espace vectoriel sur R. Soit f une application de E x E dans R. On dit que f : Ex E Rest un prodult scalalre sur Esi elle vérifie les propriétés suivantes : l’application f est bilinéaire. – pour tous vecteurs u et v de E, on a f (u, v) = f (v, u) (on dit que f est symétrique) – pour tout vecteur u de E PAGF 3 6 réel, espace euclidien) Un R espace vectoriel E muni d’un produit scalaire est dit préhilbertien réel. un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de imension finie.

Notations Plutôt que de noter f (u, v), on note souvent < u, v ou u • v, ou (u v). Avec la notation que nous utiliserons, la définition d'un produit scalaire devient : V (u, P)ER2: D(au + pu (u I u) O et Proposition 19. 1. 1 (produit scalaire canonique sur Rn ) . , yn ) deux éléments Sot u = (XI , xn ) et v - (YI quelconques de Rn xk yk , on définit un produit scalaire sur Rn 6 Soit Eun espace préhilbertien réel. pour tout vecteur u de E, on appelle norme de u la quantité u - pour tous vecteurs u, v on appelle distance de u à v la quantité d(u, v) = u -v.

Les applications « norme » et « distance » sont dites associées au produit scalaire sur E. Définition 19. 1. 3 (vecteurs unitaires) Soit E un espace préhilbertien réel. Un vecteur u de E est dit unitaire (ou encore normé) si u 1. proposltion 19. 1. 4 (inégalité de Cauchy-Schwarz) pour tous vecteurs u, v de E, on a l’inégalite dite « de Cauchy- Schwarz » : v) I Il y a égalité dans ce résultat si et seulement si u et v sont liés. Les deux exemples classiques – On se place dans Rn muni de son produit scalaire canonique.

Pour tout vecteur u = (xl x2k ,xn), on au PAGF s 6 pour tous vecteurs u, v de E, on a l’inégalité triangulaire : u + v cette inégalité est une égalité si et seulement si u et v sont « positivement liés Remarques – l’expression « positivement liés » signifie l’existence de À dans R+ tel que v = Xu ou u = XV. – pour tous vecteurs u et v de E, on a l’encadrement : u- v u+v. – Si u est non nul, les vecteurs ± sont les seuls vecteurs unitaires de la droite Ru. Mathématiques en MPSI @Jean-Michel Ferrard mathprepa. fr page 471 19. 2 Orthogonalité Proposition 19. 1. 6 (propriétés de la distance associée à un produit scalaire)

Soit E un espace préhilbertien réel. On note d(u, v) la distance associee. – pour tous vecteurs u et v de E, on a d(u, v) = d(v, u). O, et l’équivalence d(u, v) = O u = v. pour tous vecteurs u et v de E on a l’inégalité d(u, v) PAGF 6 si et seulement si C est sur le segment [A; B]) Proposition 19. 1. 7 (un développement usuel) Soit E un espace préhilbertien réel. Pour tous u, v de E, et tous réels a, Fon a : au + pv En particulier, D 2 Par addition, on en déduit : V (u, v) E E 2, u+v = 02 u +2aP(ulv) p 2v2 7 6 orthonormales) On dit qu’une famille (ui )iel de vecteurs de E est orthogonale si es ui sont orthogonaux deux à deux.

Si de plus ils sont unitaires, alors la famille est dite orthonormale (ou orthonormée). La famille (ui )iEl est orthonormale V (i, j) E 1 2 , (ui I uj) = 6ij (notations de Kronecker). Deux exemples classiques La base canonique de Rn est orthonormale pour le produit scalaire canonique. – On se place dans 211], R) muni du produit scalaire (f I g) — 2Tt f (t) g(t) dt. La famille des fn : x cos(nx), avec n dans N, est orthogonale pour ce produit scalaire. Proposition 19. 2. 1 (une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre)

Si une famille (ui )iel est orthogonale et formée de vecteurs non nuls, alors c’est une famille libre. C’est le cas notamment d’une famille (ui )iel orthonormale. En particulier, si dim E = n 1, une famille orthonormale de n vecteurs est une base orthonormale. Proposition 192. 2 (théorème de Pythagore) Si la famille (uk 8 6 partie non vide de E. L’orthogonal de X, noté X -L , est l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les éléments de X. Définition 19. 2. 4 Soit X, Y deux parties non vides de E. On dit que les parties X et Y sont orthogonales si : u EX, V v E

Cela équivaut à l’inclusion Y cx L (ou bien sûr à l’inclusion X c Y mathprepafr Page 473 Propriétés – De manière évidente, on a {O}L E, et E _L { O}. Si X CY , – L’orthogonal X L de X est toujours un sous-espace vectoriel de E, même SI X n’en est pas un. – Si X est une partie non vide de E, alors XI = . En particulier, si X = Vect{uj , j J}, alors : v EXL V j E J, (v uj) Pour toute partie non vide de on a l’inclusion X C XL_L (X est inclus dans son double ort PAGF OF un espace préhilbertien réel. Soit (FJ )jEJ une famille de sous-espaces de E, orthogonaux deux ? deux. Alors la somme G – 92. Fj est directe, et on notera G eFj (on parle de somme directe orthogonale). Algorithme d’orthonormalisation de Schmldt Proposition 192. 4 (principe de l’algorithme) Soit Eun espace préhilbertien réel. Soit (ek kn une famille libre de E. k-1 (Ej ek)Ej Pour tout k de {1, uk , où uk = ek — uk , n}, on pose Ek – La première étape de l’algorithme consiste bien sûr à poser El — el proposltion 19. 2. 5 (preuve de l’algorithme) Avec les notations précédentes, l’algorithme de Schmidt se termine. , n}, on a Vect{E1 ek}, et (Ek ek ) > O. La famille (Ek)l kn ainsi c , Vect{el , onc une famille