D Rivation

[http://mp. cpgedupuydelome. fr] édité le 3 janvier 201 5 Enoncés Dérivation Calcul de dérivées Exercice 6 [ 01355 ] [correction] Après avoir déterminé le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes : arctan x (cos x + 214 Dérivabilité or27 Sni* to View Exercice 1 [ 01354 ] [correction] Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes (x2 – 1) arccos(x2 ) [O, TT/2] R définie par Exercice 4 [ 01359 ] [correction] Solt f : [O, 1] Rune fonction dérivable.

On définit une fonction g : [O, 1] R par f (2x) 2 sinx+x Justifier que f réalise une bijection vers un intervalle à préciser, uis que f -1 est continue et dérlvable sur cet intervalle. Si xe[O, 1/2] slnon Application de la dérivation A quelle condition(s) la fonction g est-elle dérivable ? Exercice 10 [ 01356 ] [correction] Pour À R, on considère les fonctions Exercice 5 [ 01360 ] [correction] Soit f : I — C une fonction dérivable. Montrer que If I R est dérivable en tout point où f ne s’annule pas et exprimer sa dérivée. uis x 1+x 1-x2 Exercice 17 [ 00251 [correction] Calculer la dérivée n-ième de Exercice 12 [ 01365 ] [correction] Déterminer toutes les applications f : R Calcul de limites Exercice 18 [ 00743 ] [correction] R dérivables telles que Calculer la dérivée n-ième dex cos3 x Exercice 19 [ 03863 ] [correction] Calculons la dérlvée n-ième de la fonction réelle t Exercice 13 01357 [correction] Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I qui n’en soit pas une extrémité.

Si le rapport admet une limite finie quand h tend vers O, celle-cl est appelée dérivée symétrique de f en a. a) Montrer que, si f est dérivable à droite et à gauche en a, elle admet une dérivée symétrique en a. 3 OF 1 cosn (f (x)) sin(nf (x) + nn/2) b) En déduire les racines de f (n) pour n Exercice 23 [ 01364 [correction] Calculer de deux façons la dérivée n-ième de x En déduire une expression de Exercice 15 [ 01362 ] [correctlon] x2 (1 + Exercice 20 [ 01363 ] [correction] v’ x2n Soit f : R R définie par f (x) = ex 3 sin x.

Montrer que f (n) (x) 2n ex 3 sin x + 6 b) x — (x2 1)ex Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement – dD Théorème de Rolle Exercice 24 [ 01370 [correction soit f : R R dérivable. O f ne s’annule pas. [correction] Soit f : [a, b] R dérivable et vérifiant f (a) > Oet f (b) < O. Montrer que la dérivée de f s'annule. Exercice 27 [ 01372 [correction] Soit neNetf: R une application de classe C n s'annulant en n | points distincts de l. a) Montrer que la dérivée n-ième de f s'annule au moins une fois sur l. b) Soit a un réel.

Montrer que la dérivée (n – 1) -ième de f + af s’annule au moins une fois sur l. (indice : on pourra introduire une fonction auxiliaire. ) Exercice 28 [ 00262 [correction] On pose f : x (x2 – l)n a) Montrer que f est une fonction polynomiale de degré n. b) Calculer f (1) et f (—1). c) Montrer que f possède exactement n raclnes distinctes toutes dans 1 [ Montrer qu’il existe c E R tel que f (c) = O. Exercice 32 [ 01374 ] [correction] Soit f : [O, R une fonction dérivable telle que lim f- f (O) Montrer qu’il existe c > O tel uef c = O.

PAGF s OF dérivable telle que Exercice 29 [ 02820 ] [correction] Soient f : I — R une fonction deux fois dérivable sur et a, b, c trois points Montrer Bd E l, (a — b)(a – c) (b — c)(b – a) (c — a)(c – b) a) Montrer que la dérivée de x f (x)/x s’annule sur JO, a[. b) En déduire qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente à f passe par l’origine. Exercice 35 [ 01378 ] [correction] [Règle de L’Hôpital] Soient f, g : [a, b] R deux fonctions dérivables.

On suppose que Exercice 39 [ 01381 [correction Soit f : R R une fonction PAGF OF [ 01375 ] [correction] Soit f : [a, b] R dérivable vérifiant Exercice 41 [ 01384 ] [correctlon] A l’aide du théorème des accroissements finis déterminer Montrer qu’il existe cl , c2 , ca la, tels que cl < c3 et Exercice 42 [ 00267 ] [correction] Montrer à Paide du théorème des accroissements finis que Exercice 37 [ 03436 ] [correctlon] Soit f : [a, b] — R de classe C 2 vérifiant f (a) = f (a) et f (b) = f (b) Montrer qu'il existe c E la, b[ tel que Exercice 43 Montrer que [01385] gratuit uniquement - dD

Exercice 45 [ 00727 ] [correction] Soit f e C 2 (R+ , R) telle que lim f (x) —ae R. a) Si f est bornée, que dire de f (x) quand x ? b) Le résultat subsiste-t-il sans Phypothèse du a) ? Exercice 46 [ 03886 ] [correction] une fonction f : I R est dite hôldérienne d’exposant a > O s’il existe M E vérifiant Vx,yel, M ly xl a) Soit f : [a, b] R de classe Cl Montrer que f est hdldérienne d’exposant a 1 b) Démontrer que les fonctions hbldériennes d’exposant > 1 sont constantes. c) On considère la fonction f : x x ln x définie sur IO, Il. Montrer que la fonction f n’est pas hbldérienne d’exposant 1. Vérifier cependant que f est hôldérienne d’exposant a pour tout a E IO, Exercice 50 [ 01388 ] [correctlon] Soit f : R C de classe C 1 et périodique. Montrer que f est lipschitzienne. Exercice 51 [01389 [correction Montrer que la fonction f • PAGF E OF ie par : Exercice 53 [ 01368 ] [correction] Soit f:R+ R de classe C 2 telle que f (O) = O. Montrer qu’il existe g : R+ R de classe C 1 telle que Vx ER+, f (x) = g(x2 ) Exercice 48 [ 01402 ] [correction] Soit 1]. a) Etablir que pour tout t O, on a (l b) En déduire que pour tout x, y xn+l est de classe C n sur R. Exercice 47 [ 01383 ] [correctlon]

Etablir les inégalités suivantes . Ina a) Vx x2 ln x six = O SIX=O 1 + tp o, PAGF abscisse. b) f (x) = (x2 – 1) arccos x2 est définie et continue sur [-1, 1]. Par opération f est dérivable sur Quand h O = (2 + h) + h)2) O h f est dérivable en 1 et f (1) O. Par parité, fest aussi dérivable en -1 et f (-1) Exercice 2 : [énoncé] a) f (x) = x 1×1 est définie et continue sur R. par opérations, f est dérivable sur R Quand h 0+ , et quand h f est dérivable en O et f (0) = O. 1×1 1 est définie et continue sur R. Par opérations f est dérivable sur R . Quand h O, Ihl+