chapitre 4

CTN-258 : Statique et dynamique Chapitre 4 4. 1 ÉQUILIBRE DES STRUCTURES Introduction Dans ce chapitre nous allons parler des problèmes qui traitent de Sni* to View l’équilibre de structur formées de différent LA RESOLUTION DEM a détermination d 2. La détermination d pa C. actions d’appuis) rces qul maintiennent ensemble les différentes parties de la structure. Afin de mettre en évidence les forces intérieures on doit couper la structure de façon ? former des diagrammes de corps libres partiels représentant les divers éléments de la structure. pour ce raire on utilise la 3ème LOI DE NEWTON

L’ACTION d’une force et sa RÉACTION sur des corps en contact ont la MÊME INTENSITÉ selon la même LIGNE D’ACTION mais de SENS OPPOSÉ Par exemple, GRUE charpente. Il forme généralement une chaîne simple (plane) de triangles juxtaposés. Le treillis est une des principales structures employées en ingenierie. Figure 4. 1 : Treillis de pont courants Figure 4. 2 : Fermes de toit courantes 4-2 Figure 4. 3 : Autres types de treillis Plusieurs structures (ponts, grues, pylônes, certaines toitures) sont formées par l’assemblage de plusieurs treillis reliés de façon à former un ENSEMBLE RIGIDE DANS L’ESPACE.

D Souvent, les membrures d’un treillis sont élancées et supportent très mal les charges latérales. Les charges doivent être appliquées aux nœuds. Cl Lorsqu’une charge doit être appliquée entre deux nœuds (ou charge repartie). Cl Prévoir un plancher qui, par l’intermédiaire de ses éléments, transmet ces charges directement aux nœuds de la structure (ex. : tablier de pont) Figure 4. 4 Le poids propre des membrures de treillis est aussi considéré comme appliquée AUX NOEUDS. Cl Assemblages des nœuds OF montrée à la figure 4,5.

Si une charge est appliquée sur un des nœuds supérieurs, la structure va erdre sa configuration initiale. Figure 4. 5 4. 3. 1 TREILLIS RIGIDE Les déformations du treillis sont petites et ne provoquent pas son effondrement. Figure 4. 6 CTN-258 : statique et dynamique On peut augmenter la dimension du treillis présenté en 4. 6 en ajoutant chaque fois 2 barres et un nœud (isostatique). m +3 = 2n m : nombre de membrures n : nombre de nœuds Le treillis peut être isostatique, instable, ou hyperstatique (interne et externe). Figure 4. 7 Figure 4. Figure 4. 9 Figure 4. 10 4-5 doivent être égales et opposées. C] La grandeur commune de ces 2 forces est appelée «force dans la barre» (même ‘il s’agit en réalité d’une grandeur scalaire). Calcul des efforts dans les barres : Méthode des nœuds. 1. Isoler un nœud où il n’y a que deux inconnues 2. Déterminer les forces dans les barres se joignant aux nœuds en question en utilisant les deux équations d’équilibre D FxooetÜFY00 3. Passer au nœud suivant n’ayant que deux inconnues au maximum en appliquant le principe d’action-réaction 4.

L’équilibre de l’avant dernier nœud permet d’obtenir les forces internes de toutes les barres se rencontrant au dernier nœud 5. L’équilibre du dernier nœud permet de vérifier si le calcul a été fait orrectement Si le treillis contient « n » nœuds II y aura « 2n » équations analytiques permettant de déterminer « 2n » inconnues. Le fait que le treillis tout entier est un corps rigide en équilibre C] On peut écrire 3 autres équations sur le DCL global permettant de déterminer rapidement les réactions d’appuis. Exemple 4. Pour chaque élément du treillis illustré, évaluez la force interne et précisez si en tension ou BC Nœud C 707 N AC 500 N Nœud A Exercice 4. 1 4m c IOON PAGF s OF à isoler une partie du treillis sous la forme d’un DCL en coupant le treillis à l’endroit où l’on souhaite connaitre l’effort ans les barres. 4-9 Chapitre 4 : Équilibre des structures Exemple 4. 2 Calculez la force dans la barre DJ de la ferme de toit illustrés. 10 kND B sans calculer les efforts dans les autres barres. 100N 4. 7 D STRUCTURESE MECANISMES 4. 7. Structures avec des membrures à efforts multiples Dans la section précédente, nous avons considéré des structures formées entièrement de nœuds et de barres soumises seulement à des efforts axiaux . Dans les structures et les mécanismes de certaines barres (ou membrures) sont soumises ? des farces qui ne sont pas dirigées suivant l’axe de la barre. Ce sont des membrures oumises à au moins 3 efforts internes Notes: Les STRUCTURES (ossatures, métallique, bâtis de machines) conçues pour SUPPORTER LES CHARGES sont généralement immobiles et complètement liées. OF celle de BD est de 30 kg, et que les deux barres ont leur centre de masse au mllieu de leur longueur, calculez la force supportée par l’axe en A. 0,5 m Solution Est-ce que le système demeure rigide si on enlève les appuis? Non, donc on doit faire des DCL partiels. 0,25 0,25 Dy 0,5m 8 OF des structures 4. 8. 2 Arches et portiques à 3 articulations On appelle arche ou portlque à trois articulations, une structure omposée de deux poutres droites (Fig. 4. 13a), polygonales (Fig. 4. 13b) ou courbes (Fig. 4. 130.

Fig. 4. 13 – Arches et portiques à 3 articulations La réaction horizontale qui résulte au niveau des appuis est souvent appelée poussée. pour les arches soumises principalement à des charges verticales, il est possible de choisir une forme d’arche telle que les moments de flexion soient très faibles. Ceci est illustré ? la Fig. 4. 14. On remarquera que contrairement à la poutre où le moment fléchissant est prédominant (M grand, N petit), dans une arche l’effort normal est prédominant (M petit, N grand).

Cette propriété des arches a été avantageusement exploitée autrefois, lorsqu’on utilisait les matériaux comme la pierre, la fonte et le béton non armé qui avaient une bonne résistance à la compression, mais peu de résistance à la traction. 4-16 Fig. 4. 14 – Effet d’arche On peut mieux comprendre ce principe en assimilant le comportement d’une arche à celui d’un câble. Comme illustré à la fi ure suivante, un câble soumis ? une charge PAGF OF forme parabolique (x2), supportant une charge uniformément répartie sur la projection horizontale, est soumise à des forces de compression uniquement. 4_ 17

Chapitre 4: Équilibre des structures Calcul des réactions d’appui Une arche à trois articulations (Fig. 4. 1 Sa) peut paraitre, ? première vue, indéterminée compte tenu de ces quatre inconnues composantes de réactions d’appui (deux à chaque appui articulé, Fig. 4. 15b). Toutefois, on remarquera qu’en plus des trois équations d’équilibre usuelles, une quatrième équation est disponible ? cause de la rotule au point C (XM/C O). Il est évident que, si la rotule au point C n’existait pas, l’arche serait bel et bien indéterminée (trois équations pour quatre inconnues). Équilibre global de l’arche ABC ‘