angles inscrits polygones reguliers

CHA PITR 15 Angles inscrits Polygones réguliers Choix pédagogiques 1. Le point sur les cla qui sont les trols flgu l’activité 1. La conjecture est tou orq7 ues dans ns le cas où le centre O du cercle se trouve sur un c té de l’angle Cl (écran d’Arthur) ; on utilise la question 3 de inscrit AMB la page « Je vérifie mes acquis D. Pour les deux autres situations (écrans de Bachir et de Chloé), on se ramène à la question 1 en considérant le diamètre [MN]. Les élèves peuvent alors énoncer la propriété démontrée.

On pourra dans un premier temps accepter différentes formulations. De façon assez ouverte et en invitant les élèves à développer leur esprit critique, l’activité 3 permet de découvrir la conséquence de la propriété précédente concernant l’égalité des mesures de deux angles inscrits interceptant le même arc. • Les angles diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle » est généralisée dans le programme de Be par la relation qui existe entre la mesure d’un angle inscrit dans un cercle et la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc.

Les polygones réguliers En 6e et en 5e sont étudiées les propriétés des triangles ?quilatéraux et des carrés (mais l’appellation polygone régulier n’a pas encore été utilisée). La construction du cercle circonscrit à un triangle a été travaillée et justifiée en classe de Se. À noter que le rapprochement des deux notions abordées dans ce chapitre s’explique par le fait que les propriétés des angles inscrits peuvent être utilisées dans la résolution de certains problèmes sur les polygones réguliers.

Néanmoins, ces deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre et dans un ordre indifférent. 3. Polygones réguliers L’activité 4 vise à sensibiliser les élèves sur le fait que les procédés géométriques sont fréquemment rencontrés ? différentes époques de l’histoire des Arts. Ainsi, les polygones réguliers sont découverts à travers diverses oeuvres d’art. À l’issue de cette activité, le vocabulaire et les définitions seront dégagés.

Les activités 5, 6 et 7 concernent la construction sur papier blanc de polygones réguliers à 3, 4 et 6 cotés (à noter que parmi ces constructions seules celles du triangle équilatéral et du carré figurent au socle). Ces constructions s’effectuent en connaissant le cen 33 ?quilatéral et du carré figurent au socle). Ces constructions s’effectuent en connaissant le centre du polygone et l’un de ses sommets. Ces trois activités reposent alors sur une phase importante qu’est l’analyse de la situation.

L’élaboration d’une figure à main levée est alors un apport considérable et permettra cette analyse, le dégagement de propriété, des codages intéressants… avant de passer à la phase de construction. Il pourra être intéressant d’aborder les différents chemins de calculs des mesures d’angles (propriétés sur les triangles particuliers, utilisation des propriétés des ngles inscrits… ) 2. Angle inscrit, angle au centre L’activité 1 permet d’une part de faire découvrir le nouveau vocabulaire relatif aux angles (inscrit et au centre) présents dans un cercle.

Elle permet d’autre part d’émettre une conjecture concernant ces angles. L’utilisation du logiciel de géométrie dynamique est idéale ici pour obseNer grand nombre de cas et pour constater que dans ce grand nombre de cas la propriété semble toujours vraie. Charge à l’enseignant de faire sentir aux élèves que cette multiplicité d’exemples n’est pas suffisante et que démontrer cette propriété est nécessaire. Cette démonstration est amenée dans l’activité 2 en plusieurs étapes 4.

Savoir Falre L’exercice résolu 1 est l’occasion de travailler les relations existant entre angle inscrit et angle au centre interceptant le même arc. Les conseils donnés soulignent la rédacti 3 3 inscrit et angle au centre interceptant le même arc. Les conseils donnés soulignent la rédaction des propriétés respectivement utilisées. Les exercices 4 et 5 font appel aux mêmes propriétés. L’exercice 5 fait appel à l’esprit critique des élèves et les invite à ne pas avoir une lecture trop perceptive d’une igure géométrique (comme dans l’exercice 34).

Le programme de la classe de 3e stipule que les constructions de polygones réguliers (en partant du centre du polygone et de l’un de ses sommets) à connaître sont celles : – du triangle équilatéral ; -du carré ; – de l’hexagone régulier ; – de l’octogone régulier. Les trois premières ont été abordées dans les activités (5, 6 et 7), l’exercice résolu 2 traite de la construction de l’octogone régulier. Des calculs de longueurs aboutissant sur des calculs de périmètres mais aussi d’aires seront fréquemment encontrés (comme dans les exercices 49 à 51, 68, 90, 91, 96).

Ces calculs de longueurs nécessitent diverses propriétés de géométrie comme par exemple l’égalité de Pythagore ou encore la trigonométrie. C’est cette méthode même qui est développée dans l’exercice résolu 3. L’exercice résolu 11 aborde l’utilisation du logiciel GeoGebra et de sa fonction « polygone régulier Les différentes constructions (de cercles ou de polygones) demandées dans les exercices 1 1 à 13 peuvent donner lieu à de véritables problèmes de construction où une phase d’analyse préalable est nécessaire.

L’exercice 7 problèmes de construction où une L’exercice 14 de l’atelier brevet nécessite la mobilisation de plusieurs propriétés de géométrie : propriété du triangle inscrit dans un cercle de diamètre un côté ; relation existant entre angle inscrit et angle au centre interceptant le même arc ; égalité de Pythagore. L’exercice 1 S de cet atelier brevet est une construction géométrique. Les pré-requis en sont la construction d’un triangle équilatéral, les notions de symétries vues en 6e et en Se, la reconnaissance d’un hexagone régulier.

Aucune justification n’est demandée. Dans les exercices de la première partie, outre les propriétés sur angle inscrit et angle au centre, on utilise des propriétés étudiées au cours des années précédentes comme la somme des mesures des angles dans un triangle, ou la caractérisation du triangle rectangle par son inscription dans un cercle dont un diametre est un côté du triangle. Un intérêt de l’exercice 83 réside dans la prise d’initiative de tracer un cercle (ici mentionnée dans l’aide).

C’est une porte ouverte pour les élèves dans la prise dinitiative. Les exercices de la seconde partie portent sur un octogone qui ‘avèrera non régulier et sur un hexagone régulier. Propriété de Pythagore et calculs d’aires de figures simples sont ici réinvestis. Les situations proposées dans les exercices d’approfondissement sont riches et variées. Ces exercices peuvent être l’occasion de travaux co PAGF s 3 d’approfondissement sont riches et variées. Ces exercices peuvent être l’occasion de travaux collectifs.

Toute piste de recherche sera valorisée, même si elle n’a pas permis d’aboutir à une résolution complète. Ces exercices demandent à l’élève des compétences dans différents domaines et une réflexion plus importante. Ils sont pour la plupart issus d’une situation « réelle » pouvant être une source de motivations nouvelles pour certains élèves. Pour deux d’entre eux (no 88 et 93), l’utilisation d’un logiciel de géométrie permet d’émettre une conjecture, qu’il s’agira ensuite de prouver.

Cest le cas aussi pour l’exercice 89 (problème ouvert), mais ici rusage du logiciel est une prise d’initiative qui n’a pas été dévoilée. Les exercices 88, 89 et 95 portent sur angle inscrit et angle au centre, les autres sur des calculs de longueurs, d’aires, de volumes, à propos d’hexagones et d’octogones. Des compétences en trigonométrie sont mobilisées. L’exercice go (Math et Arts) nécessite d’extraire les informations de différents documents (énoncé, schéma). Il faudra sans doute un peu de temps pour le résoudre.

La seconde question peut donner lieu à de courts exposés illustrés. Si l’exercice 92 (Math et métier) est aisé à comprendre, sa résolution demande une organisation de la démarche suivie. A noter qu’il est possible de réaliser un tel ballon en carton, à l’aide du schéma ci-dessous : 5. Compléments • Les exercices Je vérifie mes acquis sont une év 3 ‘aide du schéma ci-dessous : • Les exercices Je vérifie mes acquis sont une évalua- tion diagnostique précieuse pour l’enseignant.

Dans les exercices à l’oral tout comme dans les exercices d’application, la progressivité de l’apprentissage est particulièrement prise en compte. Les exercices de la page présenter, argumenter, communiquer permettent de travailler des items de la compétence 3 du socle commun de connaissances et de compétences comme présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l’aide d’un langage adapté, par un texte écrit, en participant à un débat, ? ‘oral, mais aussi réaliser des constructions. Les exercices de la page Objectif Brevet portent sur les deux parties de ce chapitre. • Dans la tâche complexe, les élèves – qui peuvent l? détermineront le périmètre d’un polygone régulier ayant n côtés. L’exercice 97 propose une situation liée à la présence d’un octogone régulier dans un carré ; ce problème sera résolu à raide de deux démarches, l’une utilisant la trieonométrie, l’ e en équation. PAGF 7 7 oral avec présentation commentée de la figure réalisée sur papier ou à l’aide d’un logiciel de géométrie ou document écrit. Deux problèmes sont proposés dans la rubrique En route vers la Seconde. Dans l’exercice 96 les élèves Corrigés 1 .

Devinettes • Devinette Ily a trois manières d’ajouter un carré pour avoir une figure qui a un axe de symétrie. etAOB Cl n’interceptent pas le même arc, alors ce Si AMB n’est pas le cas. Ily a 38 triangles en tout. 2 Démontrer cette conjecture 24 « petits » triangles : 1. a. OMA est isocèle en O. Ses deux angles à la base ont donc même mesure. et OAM AMB B3 b. 1300 c. 700 4. Activités 4. On a démontré ainsi que « Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est ?gale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. ? Angles inscrits, angles au centre 1 Conjecturer une nouvelle propriété 3 Tirer une conséquence COA est l’angle au centre qui intercepte le même arc que Pangle inscrit CBA. Cl est Fangle au centre qui intercepte le De même, COA même arc que l’angle inscrit CDA. Or, dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit vaut la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. 260 x 2 = 52a et ABC n et AOC ont la même Donc COA mesure de 260. Lise s’est effectivement trom ée et nul besoin de rapporteur pour ‘en rendre compte.

PAGF 37 semble possible de tracer un cercle passant pas tous les sommets. 5. J’applique 5 Construire un triangle équilatéral 4 a. IJne façon : Le centre O du cercle circonscrit au triangle est le point de concours des médiatrices mais comme le triangle est équilatéral, ces médiatrices sont aussi bissectrices des 060:2 = 300. angles. Donc ACO De plus, le triangle AOC est isocèle en O donc . 1800-2*300 120′ COA 1200 et aoc n = 1200 De même BOA b. est l’angle au centre qui intercepte le même • AOB arc que Pangle inscrit ACB. le même arc. Donc 720 : 360 10 rif 37