Analyse Complexe

Analyse Complexe Philippe Charpentier Université Bordeaux I Septembre 2010 P HILIPPE C HARPENTIER U NIVERSITÉ B ORDEAUX I L ABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES P URES 351, C OURS DE LA L IBÉRATION , 33405 TALENCE Adresse électronique: préface or 241 Sni* to View ai donné ce cours à l’université Bordeaux I en première année de Master durant les années universitaires 2007-08, 200809, 2009-10 et 2010-11. Le contenu de ce polycopié est exactement ce que j’ai traité devant les étudiants.

Pour aller plus loin dans la théorie des fonction holomorphes d’une variable omplexe, le lecteur pourra consulter les ouvrages cités dans le bibliographie. Les exercices en fin de chapitre correspondent aux listes d’exercices distribuées par A. Yger au cours de l’année universitaire 2010-2011. Table des matières propriétés de l’indice . Exercices IV. 1. Théorème de Runge et enveloppes d’holomorphie . IV. 2. Résolution C des équations de Cauchy- Riemann IV. 3. Le Théorème de Weierstrass . IV. 3. 1 .

Première démonstration du Théorème de IV. 3. 2. Produits infinis de fonctions holomorphes IV. 3. 3. Les facteurs élémentaires de Weierstrass IV. 3. 4. La sphère de Riemann . IV. 3. 5. Seconde démonstration du Théorème de Exercices . groupes d’automorphismes V. 2. 1. Le groupe des automorphismes de C V. 2. 2. Le groupe des automorphismes de la sphère de Riemann .. V. 2. 3. Le groupe des automorphismes du disque unité D . V. 3. Le Théorème de Riemann . V. 4. Régularité au bord des transformations conformes .

VI. 4. Le Théorème de Picard . VI. 4. 1 . Un Théorème de Landau et un Thèorème de Bloch VI. 4. 2. Un Théorème de Schottky . VI. 4. 3. Démonstration du Grand Théorème de Picard . Annexe 101 B. 2. Cas général 102 Index 104 Bibliographie 07 C HARI TRE Formes différentielles homotopie 1. 1 Définitions générales D ÉFINITION 1. 1. 1 Soit IJ un ouvert de Rn . On appelle forme différentielle de degré 1 (ou 1-forme différentielle) sur U une application f de IJ dans l’espace des formes linéaires sur Rn .

Précisément, si a E Rn et XE U , on a f a = Eni=l fi (x)ai . En d’autres termes, si on note (dxi )i la base canonique de formes linéaires sur Rn (i. e. dxi , a = ai on a f (x) = Eni=l fi (x)dxi et on note donc f Eni—l f dxi . On dit que f est de classe C k, ke N U (4 si les fonctions fi sont de classe C k . D ÉFINITION 1. . 2. Soit U un ouvert de Rn . On appelle champ de vecteurs sur U une application X = (Xi de IJ dans Rn On dit que X est de classe C, k EN u Xi (de IJ dans R) sont de soit d f (x) la différentielle de f au point x.

Alors rapplicationx d f (x) est une 1 -forme différentielle appelée la différentielle extérieure de f D ÉFINITION 1. 1. 3. Soient IJ un ouvert de R pet V un ouvert de Rn . Soit d) = (d)i )i : V une fonction de classe C 1 . Soit w = Wi dxi une 1 -forme différentielle sur V . On appelle image réciproque de par (b la 1-forme différentielle d) définie sur IJ par (Wi O) d(bi ù dd)i est le différentielle extérieure de cbi . En particulier, si — dg est la différentielle extérieure d’une fonction g alors = d(g O) (i. e.

O * est la différentielle extérieure de g – Avant de définir les p-formes différentielles, nous faisons quelque rappels sur les formes p-multilinéaires alternées. Nous notons A p (Rn ) l’espace de ces formes sur Rn . Si T E A p (Rn ) et si vi , 1 gi p, sont des vecteurs de Rn , on a donc , vo (p) , CHAPITRE I. FORMES DIFFÉRENTIELLES, HOMOTOPIE pour toute permutation a de {1, Si SE A p (Rn ) et E Aq (Rn on appelle produit extérieur de S ar T , noté SA T, la forme p + q-multilinéaires alternée définie par : si (v1 , v p, vp+l , vp+q ) ER p+q , où la somme est étendue à toutes sign(o )S vo (1), . vo (p) Tva (p+l), . , vo (p+q , où la somme est étendue à toutes les permutations o de {1 p q} telles que o (1) < < o (p) et o (p + 1) < . o (p q). On vérifie facilement que l'on a aussi s AT(v1,... , v p+q ) = sign(o )S VO ( 1) r. p! q! vo (p) Tva (p+q , où, cette fois-ci, la somme est étendue à toutes les permutations. De même, la vérification des propriétés citées dans la Proposition qui suit ne pose pas de difficulté : P ROPOSITION 1. 1. 1. Soient Se A p (Rn Te Aq (Rn ) et R Ar (Rn 2. (SAT) R). 4.

Si fi, 1 p, sont des formes linéaires sur Rn , alors, pour vi E Rn . Afp (v1 c’est-à-dire f1 A . ) f1 vo (1). = det( fi (v j f p vo (p) , généralement notée I avec (il On remarquera que, pour p > n, A p (Rn ) = O et que An (Rn ) est de dimension 1. D EFINITION 1. 1. 4. On appelle forme différentielle de degré p (ou p-forme différentielle) sur un ouvert IJ de Rn une application de IJ dans A p (Rn ). Elle s’écrit donc de manière unique UJI (x)dxl . On dit que IJ est de classe C k si les fonctions WI sont classe C k.

Nous noterons A p (IJ) l’espace des p-formes diffép rentielles sur LI et Ak (IJ) l’espace de celles qui sont de classe C k . Les p-formes différentielles sont mises en dualité avec les p- champs de vecteurs : si est une p-forme et X = (XI un p-tuple de champs de vecteurs, la relation de dualité est . ,xp) (x) (XI D {FINITION l. l. s. Soient U un ouvert de R pet V un ouvert de Rn . Soit d) = (Oi )i : U V une fonction de classe C 1 . Soit w WI dxl une p-forme différentielle sur V . On appelle image réciproque de co par la p-forme différentielle • uJ définie sur U par O) (dO)l , PAGF OF