Algorithme

Miage Th • orie des graphes et algorithmes Jo » Ile Cohen 8 septembre 2006 Introduction Ce r • sum de cours ne pr•tend pas -tre exhaustif ni se substituer en aucune mani re aux or70 Sni* to View ouvrages publi s sur fournir aux ‘tudiants un ‘a d’autre but que de support de cours. Apr•s une pr• sentation des notions de base sur les graphes seront abord’ s quelques probl mes et des algorithmes les r • solvant – parcours de graphe arbre couvrant minimum – plus court chemin – d  » tection de circuit dans un graphe orient , d • termination des Sous-graphes et graphes partiels.

Degr•s degr’ dans un graphe non orient’ 1 . 4. 2 degr’ dans un graphe orient Cha- . 10 OF algorithme : algorithme de Roy-Warshall . 1 . 8. 3 . 9 Matrice d’adjacence Liste d’adjacence . Quelques notions particuli res 15 1. 9. 1 Les 7 ponts de K’ nigsberg . 1 . 9. 2 Coloration . 1 . 9. 3 Graphe biparti . 1 . 9. 4 Graphe planaire 2 2 Arbres et Parcours de graphe 2. 1 19 D’ finitions Caract ‘ risati … 14 … 13 . 15 .. 16 .. 17 . 19 .. 22 parcours de graphes … 23 241 Parcours en profondeur . 2. 4. 2 Parcours en largeur.. 2. 4. 3 Algorithme de Moore 2. oints darticulation dans un graphe non orient 2. 6 Isthme . 2. 7 k-connexit• 3 Probl ‘me de l’Arbre Couvrant Minimum 3. 1 23 . 25 27 … 30 . 30 Preuve de l’algorithme 3. 2. 3 Complexit• 4 Probl ‘me du plus court chemin Preuve . Algorithme. ….. 4. 1 36 Algorithme de Dijkstra .. 4. 1. 1 4. 1. 2 4. 1. 3 4. 2 Complexit ‘ Algorithme de Floyd . 4. 2. 1 4. 2. 2 preuve . 4. 2. 3 4. 3 Algorithme…. ….. …. PAGF s OF .. 35 .. 37 .. 38 . 37 . 39 41 .. 39 . 43 4. 41 Algorithme 442 Preuve 4. 4. 3 Complexit 5 Graphes orient « s 45 5. Composantes fortement connexes . 5. 2 Graphe sans circuit. ….. . 5. 2. 1 5. 2. 2 5. 3 Algorithmes Tri topologique . Orientation . 43 . 44 . 47 . 48 . . 50 Algorithme de Bellman Chapitre 1 G’ n ‘ ralit’s sur les graphes 1. 1. 1 D  » finitions graphe non orient’ (graph) . 57 D ‘finition 1. 1 un graphe non orient’ G est un triplet (X, E, d)) o – X est un ensemble non vide de sommets (vertices) – E est un ensemble d’ar•tes (edges) – est une fonction d’incidence qui a chaque ars te de E associe une paire d’ ‘ l’ ments de X non n ‘ cessairement distincts. xemple : Soit GI d’fini par X = {a, b, c, d, f, g}, E = (el , e2 , e3 , 4 , es , e6 , e7 , e8 } et O(el ) = {a, b), cb(e2 ) = {b, c}, O(e3 ) = cb(e4 ) = {c, d}, cb(e5 ) — (b, d}, O(e6 ) = {d, g), 7 OF orient’ Hl Le cardinal de X, lorsque X est fini, est appel’ l’ordre du graphe. Par la suite, on ne consid rera que des graphes finis c’est- -dire X et E seront finis. 1. 1. 2 graphe non orient’ simple un graphe non orient • est simple s’il n’a ni arm tes parall les ni boucle. On identifie alors une ar•te e a O(e), son image par Propri’t’ 1. 1 Si n est Fordre d’un graphe non orient’ simple G et m est son nombre dar* tes alors m Cn .

En effet, cb est alors une injection de X dans Pensemble des parties a deux ments de X. Or il y a Cn paires d’ • I • ments de X. 8 OF arcs e2 et e4 ne sont pas parall’ les. Fig. 1. 3 1. 2 — graphe orient • G2 Isomorphisme de graphes D ‘finition 1. 3 Soient G = (X, E, 0) et H = (Y, F, LI’) deux graphes GI et Hl sont isomorphes s’il existe deux bijections 3 : X Y, • telles que pour toute E, = xy Les accolades – graphe no parenth ‘ses – graphe PAGF OF deux sommets quelconques sont n(n — 1) adjacents. On a alors exactement ar•tes si l’ordre du graphe est n. emple : le graphe complet d’ordre 5 est not Fig. 1. 5 – le graphe complet d’ordre 5 1. 3 Sous-graphes et graphes partiels D finition 1. 5 Soit G(X, E, cb) un graphe et Y C X. Le sous-graphe GY de G engendr’ par Y est le graphe dont l’ensemble des sommets est Y – l’ensemble des arAtes (arcs) sont les arAtes de G joignant 2 sommets de Y – la fonction d’incidence OY est la restriction de cb aux ar•tes (arcs) de GY . D’ finition 1. 6 Soit E, O) un graphe et FC E. Le graphe partiel GF de G engendr• par F est le graphe dont l’ensemble des sommets est X – l’ensemble des ar-tes (a