vecteur

VECTEURS ET DROITES En 1837, le mathématicien italien Giusto BELLAVITIS, ci-contre, (1803 ; 1880) publie des travaux préfigurant la notion de vecteurs qu’il nomme « segments équipollents ». Puis plus tard au XIXe siècle, le mathématicien et physicien allemand Hermann GRASSMANN (1809 ; 1877) pose les bases des opérations sur les segments orientés pour les besoins de la mécanique : addition de forces, de vitesses… Le calcul vectoriel prend alors réellement son essor. . Colinéarité de deux vecteurs Définition : Deux vecteurs non n même direction ‘est-à-dire qu’il exist Critère de colinéarité S. . p next page u s signifie qu’ils ont ueu=kv. Soit u et v deux vecteurs de coordonnées û 0 et LI dans un repère (O, i, j nyn Dire que u et v sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles soit : xy’ – yx’ 0. Démonstration : – Si l’un des vecteurs est nul alors réquivalence est évidente. – Supposons maintenant que les vecteurs u et v soient non nuls. proportionnelles et le tableau cidessous est un tableau de proportionnalité Donc . xy’ = yx’ soit encore xy – yx’ O. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www. aths-et-tiques. fr Réciproquement, si xy’ —yx’ O. Le vecteur v étant non nul, l’une de ses coordonnées est non nulle. Supposons que xy ‘ O. Posons alors k = . = ky’ et donc u=kv. Exemple : 0-7 n ‘égalité xy-yx’ – O s’écrit : y – Vérifier si les vecteurs u 0 et v 0 sont colinéaires. 0-40 5×5 – = -3 Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires. Il. Equations de droite 1) Vecteur directeur d’une droite D est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u qui possède la même irection que la droite D. vecteurs AM Oy-yon et u a sont colinéaires, soit : g Soit encore : px — — ay + aya = 0 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – VMw. maths-et-tiques. fr Et donc : Px —ay ayO—P = O Cette équation peut s’écrire : ax + by + c = O avec a pet b et c = – 3×0 . Les coordonnées de u sont donc (a ; P) = ( —b ; a ) Soit une droite d d’équation cartésienne 4x- Sy- 1 = 0 —a Alors le vecteur u de coordonnées (5 ; 4) est un vecteur directeur de d. Théorème réciproque : L’ensemble des points ; y) tels que ax + by + c = O avec ( a ; b ) (O ; ) est une droite D de vecteur directeur u ( -b ; a) . Admis – Méthode : Déterminer une équation de droite à partir d’un point et d’un vecteur directeur On considère un repère O ; i ; j du plan. 1) Déterminer une équatio 3 de la droite d passant Soit encore : 5x + y — 16=0 Une équation cartésienne de d est : 5x + y — 16 = O . Remarque : Une autre méthode consiste à appliquer le premier théorème énoncé plus haut. Ainsi, comme u (-1 ; 5) est un vecteur directeur de d, une équation de d est de la forme : 5x+ ly+c=O. our déterminer c, il suffit de substituer les coordonnées de A dans l’équation. ) BC est un vecteur directeur de d’. Cl —500—40 Û -3-3 Û o -6 Û Une équation cartésienne de d’ est de la forme : -6x + 4 y + c = o. ; 3) appartient à d’ donc . -6 x 5 + 4×3 + c = O donc c = 18. Une équation cartésienne de d’ est : -Ex + 4 y + 18 = O ou encore 3x-2y-9=o. Yvan Monka — Académie de Strasbourg — www. maths-et-tiques. fr 3) Equation cartésienne et équation réduite Si b , alors l’équation cartésienne ax + by + c = O de la droite D peut être ramenée à une équation réduite y = -x

Le coefficient directeur de D est — , son ordonnée à l’origine est – et un vecteur 4 ax + by + c = O et a ‘x+ b’ y + c’ = O sont parallèles si et seulement si ab’— a lb = O Les droites d’équations ax + by + c = O et a ‘x + b’ y + c parallèles si et seulement si leur vecteur directeur respectif u C] C] etvû LI sont colinéaires soit : -ba a -b’ = O soit encore : ab sont Les droites déquations 3x —y + 5 parallèles. En effet, 3×2 – x O. Ill. Décomposition d’un vecteur = o et -6x+2Y+7 = O sont On appelle base du plan tout couple de deux vecteurs non colinéaires.

Exemples : Lorsqu’on considère un repère O ; i ; j du plan, le couple de vecteurs i et j, S Méthode : Choisir une décomposition pertinente pour résoudre un problème Soit un triangle ABC. D est le milieu de [BC] et E est le milieu de Le point F est défini par : AF = 3 AB + AC . Démontrer que les points A, E et F sont alignés. par définition, le vecteur AF est exprimé en fonction de AB et AC On va exprimer également le vecteur AE dans la base ( AB ; AC ) et démontrer que les vecteurs AE et AF sont colinéaires. AB AC 2 E est le milieu de [BD] donc AE Donc AE AB + AB + ACO