suites

Première S Exercices : Suites Numériques 1. Généralités 4-25 8 4-26 4-27 2 4-28 : Une suite 1-1 : Basique 1 : Une autre suit 1-2 : Basique 2 : Encore une suite 1-3 : Basique 3 : Encore une suite -2 4 Swipetaviewn htp g Gaston (c) 17 2. Convergence 3. Récurrence 9 6. Suites récurrentes 11 6 Suite récurrente 645 . 20 Raisonnement par récurrence (c) 3-21 : 6-46 : Le nombre d’or Un exemple « amusant » 3-22 : 7 Une inégalité importante (c) 3-23 . 34 nénuphar éclôt au centre d’un étang circulaire dun rayon de 100 m ; le nénuphar mesure alors 1 cm de ayon. 1.

Exprimer la surface Sn du nénuphar après n jours en fonction de l’entier n. 2. À l’aide de la calculatrice, déterminer le jour au cours duquel le nénuphar recouvrira tout l’étang. 3. Montrer que le rayon rn du nénuphar, après n jours, est le terme général d’une suite géométrique dont on précisera la raison. 4. Deux nénuphars éclosent un certain jour à une distance de 20 m l’un de l’autre. L’un mesure 1 cm de rayon, l’autre 2 cm. A l’aide d’une calculatrice, déterminer le jour au cours duquel leurs feuilles se chevaucheront. 14 : Basique 4 un) est la suite définie sur par un 02 û limite. . Déterminer le sens de variation de cette suite. Préciser sa 1-5 : Basique 5 (un) est la suite géométrique de premier terme uO = 8 et de ralson q = 1. Calculer les termes ul, u2, u20. 2. Montrer que la somme S a uO ul LI û u20 est égale ? 221 n 217 en fonction de vn. En déduire que (vn) est une suite arithmétique. c. Exprimer vn en fonction de n. En déduire un en fonction de n. 1-7 : Basique 7 Déterminer la monotonie des suites vn (on pourra comparer vn01 Û un définies par un 2008 LI 2007 2 13 n et t 1 1-8 : Basique 8 4 34 annee. . Calculer le montant du contrat pour la 1 Dème année. 3. Calculer la somme payée, au total, au bout de ces 10 années. 4. Quel est le contrat le plus avantageux ? 1-10 : Suites arithmétiques – 1 1. Soit un onoo une suite arithmétique. On sait que u5 n 125 et u16 Calculer la raison et le premier terme de cette suite. 2. En déduire un en fonction de n . 3. Pour quelle valeur de n a-t-on un D Dl 27 ? 4. A partir de quel rang a-t-on un 0 0250 ? 048. 5. calculer la somme sa 111789 0 0 0 112007 . 1-11 : Suites arithmétiques -2

Soit un DnD1 la suite arithmétique de raison 4 et de premier ul 05 . calculer la somme S 25 k kD1 1-12 : Suites arithmétiques -3 On considère la suite un n définie par ul 1 et unnl Cl nunn4 Mil 1. calculer u2 . s 4 rebond, au 10ème, au 1000ème. 2. A quel rebond la hauteur atteinte est elle inférieure à 10—12 mètre ? Quelle est alors la distance parcourue par la balle ? Exercices Barycentre F. Laroche http://laroche. lycee. free. fr 1-14 : Suites géométriques – 2 (c) En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 23% de son intensité lumineuse. Soit IO l’intensité d’un rayon lumineux à son entrée dans la plaque de verre et Il son intensité à la sortie. Exprimer Il en fonction de IO. 2. On superpose n plaques de verre identiques ; on note In l’intensité du rayon à la sortie de la n-ième plaque. a. Exprimer ln en fonction de lnD1 b. Quelle est la nature de la suite In ? Déterminer l’expression de In en fonction de n et de IO. c. Quel est le sens de variation de ln ? 3. Quelle est l’intensité initiale d’un rayon dont l’intensité après avoir traversé 4 plaques est égale à 15 ? 4.

Calculer le nombre minimum de plaques qu’un rayon doit avoir traversé pour que son intensité sortante soit inférieure ou égale au quart de son intensité entrante ? Correction 23 0,77 IO . 1000 6 4 3. On cherche IO sachant que 14 0 15 4 4. On cherche n pour que In suivants . 15 42,67 . 0,77 4 IO 0,77 n cO, 25 IO 0,77 n û o, 25 résultats 40 0,095151 69 0,77 10 : 150 IO c 0,77 . Ala machine on a les définie par : un 0 k01 1. Montrer que, pour tout entier k 1 ;nn, on a 2. En déduire que, pour tout n de D : no n no nunn non k n01 û 0 est convergente et préciser sa limite. 3.

Montrer que la suite u n 2-18 : Limite d’une suite – QCM Dire si les propriétés sont vraies, fausses ou si ron ne peut rien dire (on justifiera ses dires). 1. Une suite (un ) vérifie pour tout n > 100 Pinégalité un Dl D a. (un ) est bornée. appartiennent à l’intervalle IA ; 0 2. Soit la suite (un) définie par un D c. En déduire à l’aide du 1. la limite de la suite (un). d. Donnez une méthode pratique permettant d’obtenir cette limite sans avoir recours à la définition. 2-20 : Limite d’une suite -2 Cet exercice se présente comme un questionnaire à choix multiples (QCM). Les quatre questions sont indépendantes. our chaque question il y a deux conclusions correctes. Le candidat doit cocher au plus deux cases (celles qu’il juge correctes). Aucune justification n’est demandée. On considère trois suites (un), (vn) et (wn) qui vérifient la propriété suivante : « Pour tout entier naturel n strictement positif : un 0 vn wn 1. Si la suite (vn) tend vers —m, alors : La suite (wn) tend vers 5 LI la suite (un) est majorée La suite (vn) est majorée LI la suite (un) tend vers Tl lim (vn) = O LI la suite (wn) n’a pas de li 3. Si lim (un) = -2 et lim (wn) = 2, alors : ] la suite (vn) n’a pas de limite. -21 : Raisonnement par récurrence (c) D n D n! (et on lit « factorielle » n). 1. On note ID 203 Démontrez par récurrence que, pour tout entier naturel n 01 , on 2. Démontrez que, pour tout entier naturel n, l’entier 32n C] 2n est un multiple de 7. 1. Pour n 01 la propriété est 1! 2101 01 01 ce qui est vrai. Supposons que n! Cl 2nD1 ; alors il faut montrer que (n 0 1)! 2nDID1 Cl n! Cl 1 D Cl 2n . Or par hypothèse n! 2n01 donc en multipliant par n 01 qui est supérieur à 2, on a 2. Vérifions pour quelques valeurs que cela marche : 32 n n 2n 32n 2n 0 4