Le On 24 Proportionnalit Et Lin Arit
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Oral 1 : Le, con 21 Proportionnalit e et lin earit• CAPES externe Subi Nicolas Ducouret St ‘ ephane Ann ‘ ee 2011 plan 1 probl’ ematique 2 2 Une mod or 8 Sni* to View elisation pratique : le tableau de proportionnalit ‘ 2. 1 G’ en eralit • es et quatri eme proportionnelle Pour cette le,con, on se place au niveau troisi eme. Le but dans cette classe est de r’ esumer et de faire le point sur tout ce que les ‘ el eves savent sur la MODÉLISATION PRATIQUE : LE TABLEAU DE PROPORTIONNALITE Probl ematique.
Un baril d’essence co » ute 80 euros, et il contient 1 59 litres d’essences. Sachant qu’un dollars vaut 0-72 euros, combien com ute le litre d’essence en dollars ? Une mod elisation pratique : le tableau de proportionnalit’ 2. 1 G’ eralit es et quatri ‘ eme proportionnelle efinition 2. 1. On dit que deux quantit es x et y sont proportionnelles s’il existe un nombre a diff’ erent de fero tel que Y = ax les nombres de la premi ere ligne sont donc proportionnels a’ ceux de la deuxi eme respectivement, le coefficient de proportionnalit•e etant le m -eme.
La quatri eme proportionnelle On peut se demander alors comment r’ esoudre un exercice pr sentant un tableau de proportionnalit• e de ce type, o ux est le nombre recherch’e: Le,con 21 : Proportionnalit’e et lin earit•e 2 UNE MODELISATION On passe de b a’ c en multipliant b par cb . Le coefficient de proportionnalit’ e de ce tableau est donc et on obtient : a x cb x. Ce r • esultat est une g • en ‘ eralit•e, et le nombre x s’appelle la quatri eme proportionnelle. b Proprosition 2. 3.
Dans un tableau de proportionnalit ‘ e dont trois cases sont d’ er a remplies, le quatri eme nombre appel e quatri eme proportionnelle s’obtient en falsant le produit des nombres donn es itu es sur une m – eme diagonale et en divisant par le troisi eme nombre. 2. 2 litre d’essence co ute a’ peu Pr’ es 50 centimes d’euros. On peut donc avoir le prix en dollars avec un nouveau tableau de proportionnalit•e Euros dollars 0. 72 0. 50 Ainsi on a : 0. 5 x I 0. 69 Un litre d’essence co • ute donc a’ peu Pr’ es 0. 69 dollars.
Remarque Ce sont Ici des prix bruts de l’essence non trait ee qui sont consid ‘er ‘es, d’O u ecars avec les valeurs actuelles du carburant a la pompe. Exercice. La masse volumique de l’or est de 1 g/cm3 , celle de l’argent est 10,5 g/cm3 . Une couronne constitu ‘ ee par un m ‘ elange d’or et d’argent p • ese 298 g. Si elle etait constitu ee uniquement d’or, elle p’ eseralt 386 g. 1. Quel est le volume de cette couronne ? 2. Si on remplace un 1 cm3 d’or par 1 cm3 d’argent, combien p eserait-elle de moins ? 3. Quel volume d’argent contient-elle ?
Si on rempla,cait 1 cm3 d’or par 1 cm3 d’argent, la couronne p’ eserait 19, 3 – 10, 5= 8, 8 gde moins. 3) 386 – 298 = 88 La couronne p • ese 88 g de moins que si elle n » etait constitu ee uniquement d’or. Volume en cm3 Diff’ erence de poids en g 8, 8 88 Donc. 8, d’O’ uy=10. Donc, il y a IO cm3 d’argent dans cette couronne. Un lien direct : les fonctions lin eaires 3. 1 efinition efinition 3. 1 (fonction lin ‘ eaire de coefficient a). Soit a un nombre « fixe ». On d’ efinit la fonction lin ‘ eaire de coefficient a en associant chaque nombre x son produit par a , c’est- a-dire ax.
On dit alors que ax est l’image de x. Fonction lin • eaire de coefficient a nombre x — — x a > image ax Notation La fonction lin eaire de coefficient a est not’ ee x ax (se lit » a’ x on associe ax » coordonn ees (x ; ax). Le,con 21 : Proportionnalit• e et lin earit•e 3 UN LIEN DIRECT : LES FONCTIONS LINEAIRES Proprosition 3. 3. Dans un rep ere, la repr’ esentation graphique de la fonction lin eaire de coefficient a est la droite qui passe par l’origine O du rep• ere, et par le point de coordonn ee (1, a).
Interpr’ etation graphique : Prenons d’abord un exemple : dans un rep ere d’origine O, on trace la repr’ esentation graphique de la fonction linaire de coefficient 3. Regardons maintenant la repr• esentation graphique de la fonction lin eaire de coefficient a. efinition 3 4. Le coefficient a d’une fonction lin ‘ eaire est le coefficient directeur de la droite repr esentant cette fonction linaire. Il indique l’inclinaison de la droite par rapport a’ l’axe des abscisses.
Lescon 21 : Proportionnalit’e et lin earit’ e 6 4 4. 1 respectivement en B, C et A. On note a la longueur BC, b la longueur AC et enfin c la longueur AB. Lescon 21 : proportionnalit’e et lin earit• e 7 4 EXEMPLES Le but est ici de d ‘ emontrer que les c « ot es d’un triangle sont proportionnels aux sinus des angles oppos es. On a donc : Sirl(P) sin(y) sin(a) emonstration : . Tra,cons la hauteur issue de A, qui coupe [BCI en D. Il y a deux cas de figure : D peut appartenir ‘a [BC] ou non.
Si D [RC] alors, par d’ efinition du sinus : – – AD c et donc la hauteur AD a pour longueur : c sin(Ç). Dans le second cas, sin(TT — P) = CD c et donc CD = c x sin(Tt — B) = c x sin(P). La formule CD = c x sin(P) est donc toujours vraie. Calculons alors l’aire S du triangle : sont donc proportionnelles, le coefficient etant Cela revient ‘a tracer le tableau de proportionnalit ‘ e suivant : 25 abc . Longueur sinus de l’angle oppos’ e sin(a) sin(P) sin(y) a seconde ligne s’obtenant depuis la premi ere par la multiplication par 4. Conversion de vitesses Exercice (conversion de vitesse). Triez les animaux suivants en fonction de leur vitesse dans fordre croissant. Serpent : 160 m/min. Escargot : 2 mm/s. Araign ee : 7 m/s. Gu’ epard : 108 km/h. Faucon p • elerin : 5 km/min. Il faut convertir toutes les vitesses dans une eme unit e pour pouvoir les comparer, en m/mln par exemple. En connaissant les conversions de base des unit es, on peut obtenir des coefficients de proportionnalit ‘ es pour chacune des conversions a effectuer.