Le bonheur est -il accessible à l’homme?

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2014 MATHEMATIQUES – Séne ES ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Duree de l’épreuve : 3 heures — coefficient : 5 MATHÉMATIQUES Série L ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Durée de l’épreuve : 3 heures — coefficient : 4 SUJET EPREUVE DU VENDRE L’usage de la calculat e e,. Le candidat est invité recherche, même to nextÇEge ie toute trace de incomplète ou non fructueuse, qu’il aura d veloppée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Le candidat s’assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’enseignement (obligatoire ou spécialité). Le sujet comporte 6 pages, y compris celle-ci ; la page 6 est ? rendre avec la copie. 14MAELMLRl deux événements, dont les événements contraires sont respectivement notés A et B . B Alors 0,18 b) Exercice 2 : (5 points) À l’automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d’un terrain de 1500m2 entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20% de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse.

Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une urface de 50m2 et la remplace par du gazon. pour tout nombre entier naturel n, on note QC la surface en m2 de terrain engazonné au bout de n années, c’est-à-dire à l’automne 2010 + n. On a donc 1 500. 1 . Calculer . 2. Justifier que, pour tout nombre entier naturel n, 50. 3. On considère la suite Pi définie pour tout nombre entier naturel n par : 250. a) Démontrer que la suite est géométrique. préclser son premier terme et sa raison. b) Exprimer en fonction de n.

En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, 250 0 1 250 0,81] . c) Quelle est la surface de onné au bout de 4 totalité de son terrain. A-t-il raison ? Justifier la réponse. Exercice 3 : (5 points) Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Partie A : Chaque jour, Antoine s’entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [20 ; 60 1 .

Calculer la probabilité p pour que l’entrainement dure plus de 30 minutes. 2. Calculer l’espérance de X. Interpréter ce résultat. Partie B : Dans cette partie les probabilités seront, si besoin, arrondies au millième. Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s’entralne sont dites de premier choix si leur diamètre est compris entre 56,75 mm et 57,25 mm ; sinon elles sont dites de second choix. On note D la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de l’entreprise, associe son diamètre, en millimètres.

On suppose que D suit la loi normale d’espérance 57 et d’écart- type 0,11. 1. Déterminer la probabilité pl que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57mm. 2. Déterminer la probabilité p2 que la boule prélevée soit une boule de premier chaix. 3. En déduire la probabilité le prélevée soit une fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses 14 000 licenciés quant à l’organisation des tournois. Antoine estime que les 80 adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB.

Il est chargé de faire une étude au sein de son club : les 80 adhérents ont répondu, et 66 ont déclaré qu’ils étaient satisfaits. 1 . Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée f de personnes satisfaites de la FFB ? 2. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confia n ce 0,95 de la proportlon p de icenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l’intervalle seront arrondies au millième. 4 Exercice 4 : (5 points) On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 15 heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang.

On obtient la courbe fournie en annexe 2. A. Étude graphique Avec la précision permise par le graphique, indiquer : 1. la concentration à Pinstant initial ; 2. l’intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale ? gramme par litre. On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction necessalres. B. ?tude théorique On admet que la concentration eut être modélisée par la fonction définie sur le nombre d’heures écoulées depuis l’instant initial et la concentration, en grammes par litre, du médlcament dans le sang. . On note la fonction dérivée de la fonction . Justifier que et en déduire le tableau de variation de la fonction sur [O ; 15]. 2. Justifier que l’équation 0,1 admet une unique solution a sur l’intervalle [O ; 15]. 3. Déterminer un encadrement de a d’amplitude un dixième. 4. Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous : En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la onction f sur l’intervalle [O ; 15] et préciser l’abscisse d’un éventuel point d’inflexion.

C. Interprétation des résultats • En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous. 1 . On estime que le médicament n’est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à 0,1 gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif ? 2. Au bout de combien d’heures la baisse de concentration ralentit- elle ? Annexes — à rendre avec la copie Annexe 1 Initialisation