cours_determinants

Module : ALG 3. Déterminants Dans toute la suite, K désigne un corps commutatif (souvent R ou C) et E un K e. v de dimension l/ Formes n Linéaires Alternées Dé… nition 1 : Soit f une application de E n dans K. On dit que f est une forme n linéaire alternée sur E si f véri… les conditions suivantes : i/ f linéaire par rapport à chaque variable, en d’autres termes : Bi 2 fxl ; E; 8xi 2 p g ; xi + xi ; xi+l il/ f fonction alternée, c’est à dire : (9i;j 2 n]] tels que i j et xi Exemples : ; xi ; xi+l 1/ Une forme 1 linéaire (appelée forme linéaire) sur E; est une application f 2 2/ dans le cas : n , l’application : lorsque l’on permute la place de deux vecteurs, en d’autres termes : f (xl xj; xi ; Preuve : Remarques 1 : xi ; xj; -f(xl 1/ Dans un corps K (où 2 O comme Z=2Z); la réciproque de la propositon 1 est aussi vraie. / Il ya une autre manière de formuler la proposition 1, pour cela nous aurons besoin d’introduire quelques dé… nitions et notations. Notation : On note l’ensemble des bijections de [[1; n]] (où n 2 N ) dans lui même (appelées ensemble des Permutations de [[1 ; n]) par Sn 1/ Pour n = 1, Sl = fldg. 2/ Pour n 2, décrire S2 et S3 : 3/ Parmi les permutations de Sn (n ), on désigne celle qui laisse tous les éléments … xes sauf deux, par qu’on appelle transposition: En d’autres termes, est dé… nie par : [0) = j; 0) = i; pour i; j 2 n]] et (k) k 8k 2 n]] n fi,’ jgl Dé… ition 2 et Proposition 2 : Sn muni de la composition des applications, est un groupe (non commutatif pour n 3) de cardinal n! , et s’appelle groupe symétrique. Preuve : exercice. Soit f une forme n linéaire alternée sur E; et ; xn ) 2E n : fx Plus généralement, si fx 2 ; xn ) 2 En ; :::; xn ) où  » ( ) est la signature de Dé… nition 3 et Théorème 1 : L’ensemble des formes n linéaires alternées sur E, noté et muni des lois usuelles, est un K e. v. de dimension 1: Plus précisement pour toute base B = (el ; en ) de E, il existe une unique forme n linéaire alternée valant 1 pour la base B.

Cette application s’appelle déterminant dans la base B et on la note detB : De plus : x 8(x1 detB(x1 ; xn ) = 2sn aij ei ,8j2 n]] Notation : Soit (xl E, et. xj – , x2 ; xn ) 2 En, 3 ; en) une base de nul dès que deux au moins des vecteurs xl ; xn sont égaux. ; xn ) ne change pas si on ajoute à run quelconque iii/ detB (xl des vecteurs xi une combinaison linéaire des autres. iv/ Si l’on multiplie run des vecteurs XI par un scalaire lors detB (xl ; xn ) est multiplié par : W Si 2 sn, on a . –  » ( ) det3 (XI Preuve : Ces proporiétés découlent directement du fait que detB est une forme n linéaire alternée.

Remrques 2 1/ La propriété (iii) est de grande utilité, car elle permet, à l’aide de combinaisons astucieuses de faire apparaitre des zéros dans le tableau initial, ce qui facilitera le calcul du déterminant. 2/ Cas particulier de (v) : Si on permute les places de deux vecteurs, detB (xl est changé en son opposé. 123 Exemple : Calculer : 1 1 1 212 Proposition 4 : Soit (xl (xl ; :::; xn ) est ; xn ) un n uplet de vecteurs de E. Alors : ibre si et seulement si detB (xl ; xn ) 0: Remarque 3 : Cette proposition permet de caractériser de façon simple les familles de vecteurs de E qui sont des bases. 1-1 Déterminant d’un endomorphisme Remarque 4 : Soit u 2 End (E) et f une forme n linéaire alternée sur E. On dé… nit l’application g comme suit 4 ; :::; xn ) = f (u (xl ) ; u (xn )) 71 g(X1 On véri… e que g est une forme n linéaire alternée sur E: En appliquant cette remarque pour f – detB , alors : ; xn ) 2 En : detB (u (xl ) ; :::; u (xn : detB 91 2K, 8 (XI (xl ; xn ) D’où pour le n uplet (el ; en ) on a : detB (u (el ) ; u (en )) = Dé… ition 4 : Soit u 2 End (E). On appelle déterminant de u et on note det u, l’unique scalaire dé… ni précédemment.

On a donc : ; xn ) 2 En : detB (u (xl ) ; u (xn )) = (det u) : detB (xl ; :::; xn ) det u = detB(u (el ) ; u (en )) 3 Remarque 5 : det u ne dépend pas de la base choisie, en d’autres termes : pour toute base B = el ; en de E, on a : det u = detBOu el ; u en Attention : Le déterminant d’une famille de vecteurs dépend de la base dans laquelle on le calcule. Proposition 5 : Ona i/ det li,’ Bu; v2 End (E) : det (u v) = det u: det v: ili/ 8u 2 End (E) : u inversible SSI det u 6= O, et dans ce cas : det u 1 (det u) 1 11-2 Déterminant S canonique Bc = (el ; e2 ; en ) ; et soit u 2 End (Kn ) tel que : u (ei ) = ci Bi 2 d’où : A = MBc Dé… ition 5 : Soit A 2 Mn (K). On appelle déterminant de et on note detA. le scalaire dé… ni, avec les notations précédentes, par : det A detB (cl ; c2; cn ) = det u Proposition 6: Ona : i/ Si la matrice A se déduit de la matrice A par addition à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes, on a : det A = det A : ii/ Si la matrice A se déduit de la matrice A par une permutation des colonnes de A, on a : ) det A B 2 Mn (K) : det (AB) = det (A). t iv/ Une matrice A 2 Mn (K) est inversible ssi det A O et dans ce cas : detA1= (det A) 1 v/ det A dett A, 8A2 Mn (K) : Remarque 6 : La propriéte v/ montre que toute propriété démontrée sur les colonnes d’un déterminant est valable pour les lignes du déterminant. Proposition 7 ; xn ) un n uplet de vecteurs de E, et (aij ;n]] la 1/ soit (XI famille des coordonnées du vecteur xj relativement à la base B et A (aij 2 Mn Alors : detB (xl ; :::; xn ) = det A: 2/ Soit u 2 End (E) et A = MB (u), alors : det u – det A Preuve : exercice Corollaire 1 : Deux matrices semblables ont même déterminant.