Cours Trigo Sciences

Chapitre 1 Angles orientés et fonctions trigonométriques Rappels sur les secteurs et les angles non orientés Dé nition Si A E / Pl – (AB) Pl etCëPl , P2 et BEP2, on appelle secteur l’un d cinq ensembles suiva 1. l’intersection des d sécantes, nommée s Notation : [BACIs ave frontières. or 11 Sni* to View à frontières g), [A, C) pour 2. la réunion des complémentaires dans P des deux demi-plans ouverts à frontièrs sécantes, nommee secteur rentrant ; Notation : [BAC]r avec A pour sommet et [A, B), [A, C) pour 3. une deml-droite [A, B), nommée secteur nul, avec A pour sommet et [A, B), [A, B) pour frontières ; 4. demi-plan fermé sur la frontière duquel on a distingué un point, nommé secteur plat Notation : si A E [B, C], on note [BAC]p avec A pour sommet et [A, B), [A, C) pour 5. le plan dans lequel on a distingué une demi-droite, nommé respectivement 4 et 6, sont appelés alterne-externes. 3. Les secteurs angulaires 1 et 5, respectivement 2 et 6, sont appelés correspondants. 4. Les secteurs angulaires 1 et 3, respectivement 2 et 4, sont dits opposés par le sommet A. Trigonométrie – Chapitre 1 Page 2 Théorème I Deux secteurs saillants opposés par le sommet sont isométriques.

Théorème 2 (Théorème de la transversale) Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, 1 . les secteurs angulaires alterne-internes déterminés sont isométriques ; 2. les secteurs angulaires alterne-externes déterminés sont 3. les secteurs angulaires correspondants déterminés sont Réciproquement, si deux droites sont coupées par une sécante et qu’elles déterminent des secteurs angulaires alterne-internes isométriques, alors ces deux droites sont parallèles. Théorème 3 La relation R, dé nie dans l’ensemble des secteurs par [ABC] R [ABC] PAG » 1 ABC .

On note souvent les angles avec des lettres grecques : ABC = a. Remarques 1. 1 s’appelle angle nul. 1. La classe [A, B), [C, D), 2. La classe ([BAC]P [DEF = p s’appelle angle plat. 3. La classe , P(CD) , t s’appelle angle tour. Axiome de la mesure des angles Soit A l’ensemble des angles. On admet une application p : 2. 4. A a [O, 360] satisfaisant aux conditions suivantes P) 180 AOB) = AOC) + COB) u est surjective. PAGF30F11 Remarques 1. 3 Dans quel cas a-t-on ([ABC], [B, A)) (ABC], [B, C)) ? Si [B; A) = [B; C), càd si [ABC] est le secteur nul ou le secteur tour.

Dé nition 6 On dit que deux secteurs orientés non nuls, non tour, ont même orientation lorsqu’il existe une ranslation suivie d’une rotation transformant la première frontière de l’un dans la première frontière de l’autre de telle sorte que l’image de l’un des secteurs non orientés est incluse dans l’autre ou que l’un est inclus dans l’image de l’autre. On peut montrer que l’on obtient ainsi une relation d’équivalence dans l’ensemble des secteurs orientés non nuls, non tour. On a alors deux classes 01 et 02 , appelées orientations du plan.

L’une d’elle se nomme orientation directe, ou positive, et l’autre orientation rétrograde, ou négative. Remarque 1 . 4 Pourquoi faut-il exclure les secteurs orientés nuls ou tour ? Parce qu’ils ont les deux orientations, sont dans 01 et 02 . Plus une relation d’équivalence. Théorème 4 Si l’on pose (ABC], A)) R ([A B C], [B , A les secteurs ont même orientation et [ABC] et [A B C ] sont isométriques, alors on a une relation d’équivalence dans l’ensemble des secteurs orientés non nul 11 la relation R du théorème précédent • l’ensemble des secteurs orientés nuls et tour noté et appelé angle nul.

Notation : (BA, BC) = a, où [B, A) est la première frontière du secteur orienté (ABC], [B, A)) 1. 3 Page 4 Le cercle trigonométrique Rappels 1. 5 Un repère est un triplet (O, 01, O]) où : ?? 0 E P est appelé origine du repère ; • (01, O]) est une base (càd 01 et OJ sont linéairement indépendants, càd pas multiples l’un de l’autre, càd leurs supports ne sont pas parallèles. ). Dé nition 8 -— Une repère (O, 01, OJ) est dit orthonormé direct si (ortho) 1. (01) L (normé) s 1 360. 2. Pour la mesure en radians, on associe à chaque angle orienté un nombre entre O et 2n .

En fait, la mesure en radians est la longueur de l’arc de cercle correspondant sur le cercle trigonométrique (le périmètre d’un cercle de rayon 1 valant 2 r- 2rt, la mesure d’un angle tour vaudra 21T degrés 3600 adians 2TT 900 2 Mais les choses se compliquent si on ré échit sur de « grands » angles orientés (qui font plus qu’un tour). En e et, si on représente un « grand » angle orienté sur le cercle trigonométrique, le pont M que l’on obtient coïncide avec le représentant d’un angle « plus petit ».

On va donc faire en sorte que la mesure du « grand » angle et celle du « petit » soient la même, puisqu’ils correspondent tous les deux au même point M . Page 5 Théorème 5 Les relations RI et R2 dé nies dans l’ensembles des nombres réels par . 6 1 211, k e Z} —2n, O, 211, 61-1, La classe de 90e (modulo 360) est • {FR I y- 90 + k. 360, kEZ} = -2702 , , 450 8100 , 90 On admet l’axiome suivant pour la mesure des angles orientés : Axiome de la mesure des angles orientés Soit A l’ensemble des angles orientés.

La mesure des angles orientés est une application mradian : R,’21T (OA, OB) x’ = rnradian (COA, OB)) satisfaisant aux conditions suivantes . 1. mrad ( 2. mrad ( (OA OB)) = x- Si x = grad ( et (OA, OB) est d’orientation directe 3. mrad ( (OA OB)) = rnrad ( (OA, OC)) + rnrad ( (OC, OB)) (Chasles) Remarques 1. 7 1. De même, il existe une eeré R/360 qui classes de réels modulo 2n vers l’ensemble des points du cercle . . On mesure positivement les angles orientés positivement, et négativement ceux orientés négativement. 1. Page 6 Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus Dé nition IO A chaque nombre réel x E R correspond un et un seul point M de cercle trigonométrique tel que x’ = m( (01, OM Ce point M possède un et un seul projeté orthogonal M sur l’axe (01) et un et un seul projeté orthogonal M sur l’axe (01). Alors on dé nit : cos(x) = OM l’abscisse de M ; sin(x) = OM , l’ordonnée de M . Remarques 1. 8 1 . Si on choisit un autre nombre x, les nombres sin(x) et cos(x) changent : à chaque nombre correspond un et un seul nombre sin(x), et un et un seul nombre cos(x).

Ainsi, sinus et cosinus sont des fonctions/applications : cos : R — Il X Sin(X) = OM B1 O et cos(O) 1 – 1 et cos sin(TT) = O et cos(T1) = —1 3 Tt – —1 et cos Démonstration: 2-OM=OO O 1. On a dans ce cas M = Ainsi Sin(0) = OM = OO – O cos(0) = OM = 01 1 , donc M = let M = O 2. On a dans ce cas M (-1, O), donc M = M et M – O. Ainsi sin(TT) = OM = 00 = 0; cosa-o = OM = OM = -l. 3. On a dans ce cas M -J , donc M = O et M —J. Ainsi sin 1; OM OO O. 4. On a dans ce cas M —1), donc M = O et M = M Ainsi sin 3Tt COS 3Tt