BACS Mathematiques 2014

Recueil d’annales en Mathématiques Terminale S – Enseignement obligatoire Nombres complexes Frédéric Demoulinl, Olivier Hervé2 Dernière révision : 22 mai 2008 Document diffusé via le site www. bacamaths. net de Gilles Costantini3 frederic. demoulin (ch ol. herve (chez) lapost gilles. costantini (chez 2 Annales Terminale S or 106 Sni* to View Tableau récapitulatif des exercices • indique que cette notion a été abordée dans fexercice Lieu du Nord Antilles-Guyane Asie France F. Demoulin, O.

Hervé Année ROC Avril 2008 NOV 2007 Nov 2007 sept 2007 Juin 2007 Jilin 2007 Mai 2007 Avril 2007 Nov 2006 sept 2006 Jun 2006 Juin 2006 2006 AGF Of Sud Nouvelle-Calédonie Polynésie Amérique du Nord Centres étrangers La Réunion Inde Liban Amérique du Sud Nouvelle Calédonie Quelle est la nature du quadrilatère ABC D ? 2. On considère la rotation r de centre B et dangle — F es points du plan définis par : E = r (A) . Soient E et a Comment construire à la règle et au compas les points F et E dans le repère précédent ? b. Donner récriture complexe de r . c.

Déterminer l’affixe du point E . Exercice 2 Amérique du Sud, Novembre 2007 (5 points) Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct O ; On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure. Soit f l’application qui à tout point M de p d’affixe non nulle z associe le point M ‘ d’affixe : 1. Soit E le point d’affixe ZE = —i. Déterminer l’affixe du point E’, imaee de E par f M est un point de A distinct du point O, alors M ‘ est un point de A. 5. Soit r le cercle de diamètre [AB]. a. Montrer que si le point M appartient à r alors le point M ‘ appartient à la droite (AB). . Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par f ? Exercice 3 Nouvelle Calédonie, Novembre 2007 (4 points) Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro e la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte O, 5 point ; une réponse inexacte enlève O, 25 point ; l’absence de réponse est comptée O point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.

Une solution de Péquation 2z+ z = 9 + i est : b. 2. Soit z un nombre complexe ; a. Izl + z -Il . liz+l Iz+il est égal à. 3. Soit z un nombre complexe non nul d’argument e. un argument de points M d’affixe z vérifiant I z — est : a. la droite (AB) b. e cercle de diamètre [AB] c. la droite perpendiculaire ? (AB) passant par O 6. soit n le point d’affixe — i. L’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant I z —1 13 —4il a pour équation : c. z- 1 —i + 5eie avec e réel 7. Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i.

L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec AB , AC (21T) est a. 1-4i b. -3i c. 7+4i -zest : b. L’ensemble vide . L’ensemble des solutions dans C de l’équation Exercice 4 Antilles – Guyane, Septem ints) compléter la figure au fur et à mesure. Montrer que b = ia, en déduire que le triangle O AB est un triangle socèle rectangle tel que O A, OB = (210. 2. On considère le point C d’affixe c + i. Déterminer l’affixe du point D tel que le triangle OC D soit un triangle isocèle rectangle tel que OC , OD On pourra conjecturer l’affixe de D à l’aide de la figure pour traiter la question suivante. es affixes respectives des vecteurs OM et D A. et z 3. Soit M le milieu de [C B]. On appelle ZOM DA Prouver que : OM = i. 4. Donner une mesure en radians de l’angle D A, OM 5. prouver que OM = D A. 6. On appelle J , Ket L les milieux respectifs des segments [C Dl, On admet que le quadrilatère K LM est un parallélogramme. Démontrer que c’est un c points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents). 5. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe Z 2007.

Exercice 6 Antilles – Guyane, Juin 2007 (5 points) Page 5 v est un repère orthonormal direct du plan complexe. Soit A le point d’affixe 1 + i. Au point M d’affixe z, on associe le point M ‘ d’affixe z telle que z ‘ z + iz- . On pose z = x + iy et z’ = x’ + iy ‘ avec x, y, x’ et y ‘ réels. Démontrer les égalités suivantes : x ‘ = (x + y) et y (x + y). déduire que M M’ OM3 3. Démontrer que les points M, Ml , M2 et M3 appartiennent à un ême cercle de centre O si et seulement si MM’=OM. Donner alors la mesure en radians de l’angle géométrique M ‘ OM .

Exercice 7 Asie, Juin 2007 (5 points) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O ; v . L’unité graphique est 4 cm. Soit À un nombre complexe non nul et différent de 1. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (Zn ) de nombres complexes par : zn+l kzn + On note Mn le point d’affixe Zn . 1. Calcul de Zn en fonction de n et de À. a. Vérifier les égalités : zl = (À + l)i ; z3 = (X2+À+ l)i. b. Démontrer que, pour tout entier n positif ou nul : Zn 2. Étude du cas = i. PAGF 06