202 Cours Vecteurs 1

Seconde Chapitre 5 : Les vecteurs Page 1 sur 12 Activités 1, 2 et 3 sur les translations I ) Vecteurs 1) Qu’est – ce qu’un vecteur ? Idée à retenir : « Un vecteur sert ? décrire un déplacement. » Définition Un vecteur ( non nul ) est la donnée de trois éléments 1) une direction ( une direction ) 2) un sens de parcou de 3) une longueur ( ap Exemples rallèles ont la même or 13 1) Le vecteur formé de la de sens « de vers de longueur AB est noté 2) Les vecteurs AB et CD ont la même direction et le même sens mais pas la même longueur 3) Les vecteurs AB et BA ont la même direction et la même ongueur mais pas le même sens.

Remarque : On dit que le point B est Fimage du point A par la translation de vecteur AB . 2) Vecteurs égaux : Idée à retenir : « Deux vecteurs sont égaux s’ils décrivent le même déplacement » On dit que deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, même longueur, c’est-à-dire que AB CD 3) Notation D Les trois vecteurs AB, CD et EF ci-contre sont égaux. On dit alors que AB, CD et EF sont des représentants d’un même vecteur que l’on peut noter génériquement u .

On dit que AB est le représentant du vecteur u d’origine A. 4) Vecteurs particuliers Le vecteur AA est appelé vecteur nul et noté O . Il n’a pas de direction, ni de sens et sa longueur est nulle. L’opposé du vecteur u non nul est le vecteur ayant la même direction, le sens contraire et la même norme. On le note — L’opposé du vecteur AB est le vecteur BA . On écrit donc que : BA = – AB .

Il ) Faire de la géométrie avec les vecteurs 1) Vecteurs égaux et parallélogramme Propriété : Soient M B, et squatre points distincts du plan. AB DC si et seulement si ABCD est un parallélogramme. Remarque On a aussi BA = CD, AD = ac et DA = CB 2) Vecteurs éeaux et milie PAGF 13 que cos Aë Exercice 2 : Compléter le tableau suivant ( On pourra s’aider d’une figure ) : Langage habituel Langage vectoriel .. ü est l’image de . . par par la translation de vecteur -s est l’image de cni est un parallélogramme . st un parallélogramme est le milieu de 13 Chasles : On définit la somme vectorielle AB + BC comme étant le vecteur b) Les deux vecteurs ne sont pas positionnés sont l’un à la suite de l’autre Méthode : On déplace les vecteurs de façon à les mettre l’un à la suite de l’autre. Etant donnés deux vecteurs quelconques u et v , on définit la omme vectorielle u + v comme étant le vecteur égal à AC , où A est un point quelconque du plan et C son image par les translations successives de vecteurs respectifs u et v .

Remarques : La somme vectorielle ne dépend pas du point A choisi. Comme pour la somme des nombres, la somme vectorielle est commutative, c’est-à-dire u + v = v + u associative, c’est-à-dire ( u + v ) + w — u + (v + w) , ce que l’on peut simplement noter u + v + w Exercice 5 : On considère le triangle ABC ci — contre. 1) a) Construire le point D tel que cn_m b) Démontrer que est un parallélogramme. ) a) Construire le point & = (co( . b) Que veut 3) Montrer que coxe est un parallélogramme. ) En déduire l’image du point C ar la translation de vecteur ‘Œ 3 mm Cl mm C] 2) Différence : Idée à retenir « pour soustraire, on ajoute l’opposé On appelle différence entre u et v , le vecteur noté u – v défini par Remarque : On retrouve le « soustraire, c’est ajouter l’opposé Exercice 7 : Dans le parallélogramme ci-contre, 1) Tracer la somme mm O avec pour origine le point 2) racer la différence Œ » Exercice 9 : Sur le quadrillage ci – contre, construire les points D, E, et tels que 2cnm = —2x_m Cl 3_XLD page 5 sur 12 IV) Dans un repère 1) Définition On se donne un repère ( 6 3 Montrer que ABCD est un parallélogramme.

Exercice 13 u et v sont deux vecteurs de coordonnées u (1 ; 2) et v ( —1 ; 2) . Les points A, B, C et D sont définis par : 1) Calculer les coordonnées de A, B, C et D et faire une figure. 2) Montrer que ABCD est un parallélogramme. Page 6 sur 12 Page 7 sur 12 3) Somme de vecteurs Propriété: Dans un repère, les coordonnées de la somme de deux vecteurs sont égales à la somme des coordonnées des vecteurs. 4) Produit d’un vecteur par un nombre Dans un repère, les coordonnées du produit d’un vecteur par un nombre sont égales au produit des coordonnées du vecteur par ce nombre. ) Norme d’un vecteur Dans un repère orthonormé, le vecteur AB a pour norme: (XB-xA) 7 3 1) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. 2) Déterminer les coordonnées des points E et F pour que les vecteurs AE et CF soient tous deux égaux à BD 3) Montrer que D est le milieu de (ECI et le milieu de [AF]. Exercice 15 on donne les l) et C (5 ; 1). 1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle. ) Calculer les coordonnées du point D tel que ABDC soit un carré.

Exercice 16 On donne les points C (—2 ; 3) , E (—3 ; F 2) Démontrer l’égalité AE = FC. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère AECF? 3) Montrer que [FE] et [BD] ont même milieu. page 8 sur 12 V) Colinéarité et Parallélisme 1) Définition, application On dit que deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires s’il existe un réel k E » tel que u = kV Propriété • Les vecteurs non nuls u t colinéaires si et une des coordonnées est nulle, par exemple x O, Comme dans ce cas y et comme on a x y = O, on en déduit ue x’ O.

On a alors v = Sinon, on peut diviser par x et y et on obtient et v u Application : Les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Exercice 17 2) En déduire que les points A, B et C sont alignés. 1) Montrer que AC – Exercice 18 Soient les points A 1) et B (—1 ; 2). 1) Calculer les coordonnées du point C tel que : AC = 2 A-8-2=6 0x-xA=x-1 AM DM DYM-yA=y-2 AB et AM sont colinéaires -2 -y=3x-1 L’équation y 3x est appelée équation de la droite (AB). -22 0-12 pour tester si des point C C] C] et D Cl D appartiennent à la droite ‘équation y = 3x – 1 , il suffit de vérifier si leurs coordonnées vérifient l’équation de la droite. Attention, il faut séparer » les calculs !! 3xc- Comme yC 3 xC – 1, le point C n’appartient pas à la droite yD _4 Comme yD 3 xD — 1, le point D appartient à la droite l_Jne droite non verticale a une équation de la forme y = ax + b, où a et b sont des nombres réels fixés. Le nombre b s’appelle l’ordonnée à l’origine et le nombre a s’appelle le coefficient directeur ou la pente de la droite On a vu en TD que le b co a hauteur à laquelle la